[449fbf] | 1 | //CM, last modified 10.12.06 |
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| 2 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
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[1a3911] | 3 | version="$Id: aksaka.lib,v 1.4 2009-04-06 12:39:02 seelisch Exp $"; |
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[449fbf] | 4 | category="Teaching"; |
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| 5 | info=" |
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[1a3911] | 6 | LIBRARY: aksaka.lib Procedures for primality testing after Agrawal, Saxena, Kayal |
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[449fbf] | 7 | AUTHORS: Christoph Mang |
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| 8 | |
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[1a3911] | 9 | OVERVIEW: |
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[449fbf] | 10 | Algorithms for primality testing in polynomial time |
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| 11 | based on the ideas of Agrawal, Saxena and Kayal. |
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| 12 | |
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| 13 | PROCEDURES: |
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| 14 | |
---|
[1a3911] | 15 | fastExpt(a,m,n) a^m for numbers a,m; if a^k>n n+1 is returned |
---|
[449fbf] | 16 | log2(n) logarithm to basis 2 of n |
---|
| 17 | PerfectPowerTest(n) checks if there are a,b>1, so that a^b=n |
---|
| 18 | wurzel(r) square root of number r |
---|
| 19 | euler(r) phi-function of euler |
---|
| 20 | coeffmod(f,n) poly f modulo number n (coefficients mod n) |
---|
| 21 | powerpolyX(q,n,a,r) (poly a)^q modulo (poly r,number n) |
---|
| 22 | ask(n) ASK-Algorithm; deterministic Primality test |
---|
| 23 | "; |
---|
| 24 | |
---|
[abb4919] | 25 | LIB "crypto.lib"; |
---|
[449fbf] | 26 | LIB "ntsolve.lib"; |
---|
| 27 | |
---|
| 28 | /////////////////////////////////////////////////////////////// |
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| 29 | // // |
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[f3a11a] | 30 | // FAST (MODULAR) EXPONENTIATION // |
---|
[449fbf] | 31 | // // |
---|
[abb4919] | 32 | /////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
[1a3911] | 33 | proc fastExpt(number a,number m,number n) |
---|
| 34 | "USAGE: fastExpt(a,m,n); a, m, n = number; |
---|
[449fbf] | 35 | RETURN: the m-th power of a; if a^m>n the procedure returns n+1 |
---|
| 36 | NOTE: uses fast exponentiation |
---|
[1a3911] | 37 | EXAMPLE:example fastExpt; shows an example |
---|
[449fbf] | 38 | " |
---|
| 39 | { |
---|
[226c28] | 40 | number b,c,d; |
---|
| 41 | c=m; |
---|
| 42 | b=a; |
---|
| 43 | d=1; |
---|
[449fbf] | 44 | while(c>=1) |
---|
| 45 | { |
---|
[226c28] | 46 | if(b>n) |
---|
| 47 | { |
---|
[449fbf] | 48 | return(n+1); |
---|
[226c28] | 49 | } |
---|
[449fbf] | 50 | if((c mod 2)==1) |
---|
[226c28] | 51 | { |
---|
| 52 | d=d*b; |
---|
| 53 | if(d>n) |
---|
| 54 | { |
---|
| 55 | return(n+1); |
---|
| 56 | } |
---|
| 57 | } |
---|
| 58 | b=b^2; |
---|
| 59 | c=intPart(c/2); |
---|
[449fbf] | 60 | } |
---|
[226c28] | 61 | return(d) |
---|
[449fbf] | 62 | } |
---|
| 63 | example |
---|
| 64 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 65 | ring R = 0,x,dp; |
---|
[1a3911] | 66 | fastExpt(2,10,1022); |
---|
[449fbf] | 67 | } |
---|
[f3a11a] | 68 | //////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 69 | proc coeffmod(poly f,number n) |
---|
[abb4919] | 70 | "USAGE: coeffmod(f,n); |
---|
[f3a11a] | 71 | ASSUME: poly f depends on at most var(1) of the basering |
---|
[abb4919] | 72 | RETURN: poly f modulo number n |
---|
| 73 | NOTE: at first the coefficients of the monomials of the poly f are |
---|
| 74 | determined, then their remainder modulo n is calculated, |
---|
| 75 | after that the poly 'is put together' again |
---|
[f3a11a] | 76 | EXAMPLE:example coeffmod; shows an example |
---|
[449fbf] | 77 | " |
---|
[abb4919] | 78 | { |
---|
[f3a11a] | 79 | matrix M=coeffs(f,var(1)); //Bestimmung der Polynomkoeffizienten |
---|
| 80 | int i=1; |
---|
| 81 | poly g; |
---|
[226c28] | 82 | int o=nrows(M); |
---|
[449fbf] | 83 | |
---|
[f3a11a] | 84 | while(i<=o) |
---|
[226c28] | 85 | { |
---|
| 86 | g=g+(leadcoef(M[i,1]) mod n)*var(1)^(i-1) ; |
---|
| 87 | // umwandeln der Koeffizienten in numbers, |
---|
| 88 | // Berechnung der Reste dieser numbers modulo n, |
---|
| 89 | // poly mit neuen Koeffizienten wieder zusammensetzen |
---|
| 90 | i++; |
---|
| 91 | } |
---|
[f3a11a] | 92 | return(g); |
---|
[449fbf] | 93 | } |
---|
| 94 | example |
---|
[abb4919] | 95 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
[449fbf] | 96 | ring R = 0,x,dp; |
---|
[f3a11a] | 97 | poly f=2457*x4+52345*x3-98*x2+5; |
---|
| 98 | number n=3; |
---|
| 99 | coeffmod(f,n); |
---|
[abb4919] | 100 | } |
---|
[f3a11a] | 101 | ////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 102 | proc powerpolyX(number q,number n,poly a,poly r) |
---|
[abb4919] | 103 | "USAGE: powerpolyX(q,n,a,r); |
---|
| 104 | RETURN: the q-th power of poly a modulo poly r and number n |
---|
[f3a11a] | 105 | EXAMPLE:example powerpolyX; shows an example |
---|
| 106 | " |
---|
| 107 | { |
---|
[226c28] | 108 | ideal I=r; |
---|
[abb4919] | 109 | |
---|
[226c28] | 110 | if(q==1){return(coeffmod(reduce(a,I),n));} |
---|
| 111 | if((q mod 5)==0){return(coeffmod(reduce(powerpolyX(q/5,n,a,r)^5,I),n));} |
---|
| 112 | if((q mod 4)==0){return(coeffmod(reduce(powerpolyX(q/4,n,a,r)^4,I),n));} |
---|
| 113 | if((q mod 3)==0){return(coeffmod(reduce(powerpolyX(q/3,n,a,r)^3,I),n));} |
---|
| 114 | if((q mod 2)==0){return(coeffmod(reduce(powerpolyX(q/2,n,a,r)^2,I),n));} |
---|
[f3a11a] | 115 | |
---|
| 116 | return(coeffmod(reduce(a*powerpolyX(q-1,n,a,r),I),n)); |
---|
[abb4919] | 117 | } |
---|
[f3a11a] | 118 | example |
---|
[abb4919] | 119 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
[f3a11a] | 120 | ring R=0,x,dp; |
---|
[449fbf] | 121 | poly a=3*x3-x2+5; |
---|
[f3a11a] | 122 | poly r=x7-1; |
---|
| 123 | number q=123; |
---|
| 124 | number n=5; |
---|
| 125 | powerpolyX(q,n,a,r); |
---|
[449fbf] | 126 | } |
---|
| 127 | /////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 128 | // // |
---|
| 129 | // GENERAL PROCEDURES // |
---|
| 130 | // // |
---|
| 131 | /////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 132 | proc log2(number x) |
---|
| 133 | "USAGE: log2(x); |
---|
| 134 | RETURN: logarithm to basis 2 of x |
---|
| 135 | NOTE: calculates the natural logarithm of x with a power-series |
---|
| 136 | of the ln, then the basis is changed to 2 |
---|
| 137 | EXAMPLE: example log2; shows an example |
---|
| 138 | " |
---|
| 139 | { |
---|
[226c28] | 140 | number b,c,d,t,l; |
---|
| 141 | int k; |
---|
[449fbf] | 142 | // log2=logarithmus zur basis 2, |
---|
| 143 | // log=natuerlicher logarithmus |
---|
[226c28] | 144 | b=100000000000000000000000000000000000000000000000000; |
---|
| 145 | c=141421356237309504880168872420969807856967187537695; // c/b=sqrt(2) |
---|
| 146 | d=69314718055994530941723212145817656807550013436026; // d/b=log(2) |
---|
[449fbf] | 147 | |
---|
[226c28] | 148 | //bringen x zunaechst zwischen 1/sqrt(2) und sqrt(2), so dass Reihe schnell |
---|
| 149 | //konvergiert, berechnen dann Reihe bis 30. Summanden und letztendlich |
---|
| 150 | //log2(x)=log(x)/log(2)=(log(x/2^j)+j*log(2))/log(2) für große x |
---|
| 151 | //log2(x)=log(x)/log(2)=(log(x*2^j)-j*log(2))/log(2) für kleine x |
---|
[449fbf] | 152 | |
---|
[226c28] | 153 | number j=0; |
---|
| 154 | if(x<(b/c)) |
---|
| 155 | { |
---|
| 156 | while(x<(b/c)) |
---|
| 157 | { |
---|
| 158 | x=x*2; |
---|
| 159 | j=j+1; |
---|
| 160 | } |
---|
| 161 | t=(x-1)/(x+1); |
---|
| 162 | k=0; |
---|
| 163 | l=0; |
---|
| 164 | while(k<30) //fuer x*2^j wird Reihe bis k-tem Summanden berechnet |
---|
| 165 | { |
---|
| 166 | l=l+2*(t^(2*k+1))/(2*k+1); //l=log(x*2^j) nach k Summanden |
---|
| 167 | k=k+1; |
---|
| 168 | } |
---|
| 169 | return((l*b/d)-j); //log2(x)=log(x*2^j)/log(2)-j wird ausgegeben |
---|
| 170 | } |
---|
| 171 | while(x>(c/b)) |
---|
| 172 | { |
---|
| 173 | x=x/2; |
---|
[449fbf] | 174 | j=j+1; |
---|
[226c28] | 175 | } |
---|
[449fbf] | 176 | t=(x-1)/(x+1); |
---|
| 177 | k=0; |
---|
| 178 | l=0; |
---|
[226c28] | 179 | while(k<30) //fuer x/2^j wird Reihe bis k-tem Summanden berechnet |
---|
[449fbf] | 180 | { |
---|
[226c28] | 181 | l=l+2*(t^(2*k+1))/(2*k+1); //l=log(x/2^j) nach k Summanden |
---|
| 182 | k=k+1; |
---|
[449fbf] | 183 | } |
---|
[226c28] | 184 | return((l*b/d)+j); //hier wird log2(x)=log(x/2^j)/log(2)+j ausgegeben |
---|
[449fbf] | 185 | } |
---|
| 186 | example |
---|
| 187 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 188 | ring R = 0,x,dp; |
---|
| 189 | log2(1024); |
---|
| 190 | } |
---|
| 191 | ////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 192 | proc wurzel(number r) |
---|
| 193 | "USAGE: wurzel(r); |
---|
[d2f488] | 194 | ASSUME: characteristic of basering is 0, r>=0 |
---|
[449fbf] | 195 | RETURN: number, square root of r |
---|
| 196 | EXAMPLE:example wurzel; shows an example |
---|
| 197 | " |
---|
| 198 | { |
---|
[226c28] | 199 | poly f=var(1)^2-r; //Wurzel wird als Nullstelle eines Polys |
---|
| 200 | //mit proc nt_solve genähert |
---|
| 201 | def B=basering; |
---|
| 202 | ring R=(real,40),var(1),dp; |
---|
| 203 | poly g=imap(B,f); |
---|
| 204 | list l=nt_solve(g,1.1); |
---|
| 205 | number m=leadcoef(l[1][1]); |
---|
| 206 | setring B; |
---|
| 207 | return(imap(R,m)); |
---|
[449fbf] | 208 | } |
---|
| 209 | example |
---|
| 210 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 211 | ring R = 0,x,dp; |
---|
| 212 | wurzel(7629412809180100); |
---|
| 213 | } |
---|
| 214 | ////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 215 | proc euler(number r) |
---|
| 216 | "USAGE: euler(r); |
---|
| 217 | RETURN: number phi(r), where phi is eulers phi-function |
---|
| 218 | NOTE: first r is factorized with proc PollardRho, then phi(r) is |
---|
| 219 | calculated with the help of phi(p) of every factor p; |
---|
| 220 | EXAMPLE:example euler; shows an example |
---|
| 221 | " |
---|
| 222 | { |
---|
| 223 | list l=PollardRho(r,5000,1); //bestimmen der Primfaktoren von r |
---|
[226c28] | 224 | int k; |
---|
| 225 | number phi=r; |
---|
| 226 | for(k=1;k<=size(l);k++) |
---|
| 227 | { |
---|
| 228 | phi=phi-phi/l[k]; //berechnen phi(r) mit Hilfe der |
---|
| 229 | } //Primfaktoren und Eigenschaften der phi-Fktn |
---|
| 230 | return(phi); |
---|
[449fbf] | 231 | } |
---|
| 232 | example |
---|
| 233 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 234 | ring R = 0,x,dp; |
---|
| 235 | euler(99991); |
---|
| 236 | } |
---|
| 237 | /////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 238 | // // |
---|
| 239 | // PERFECT POWER TEST // |
---|
| 240 | // // |
---|
| 241 | /////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 242 | proc PerfectPowerTest(number n) |
---|
| 243 | "USAGE: PerfectPowerTest(n); |
---|
| 244 | RETURN: 0 if there are numbers a,b>1 with a^b=n; |
---|
| 245 | 1 if there are no numbers a,b>1 with a^b=n; |
---|
| 246 | if printlevel>=1 and there are a,b>1 with a^b=n, |
---|
| 247 | then a,b are printed |
---|
| 248 | EXAMPLE:example PerfectPowerTest; shows an example |
---|
| 249 | " |
---|
| 250 | { |
---|
| 251 | number a,b,c,e,f,m,l,p; |
---|
| 252 | b=2; |
---|
| 253 | l=log2(n); |
---|
| 254 | e=0; |
---|
| 255 | f=1; |
---|
| 256 | |
---|
| 257 | while(b<=l) |
---|
[226c28] | 258 | { |
---|
| 259 | a=1; |
---|
| 260 | c=n; |
---|
[449fbf] | 261 | |
---|
[226c28] | 262 | while(c-a>=2) |
---|
| 263 | { |
---|
| 264 | m=intPart((a+c)/2); |
---|
[1a3911] | 265 | p=fastExpt(m,b,n); |
---|
[449fbf] | 266 | |
---|
[226c28] | 267 | if(p==n) |
---|
| 268 | { |
---|
| 269 | if(printlevel>=1){"es existieren Zahlen a,b>1 mit a^b=n"; |
---|
| 270 | "a=";m;"b=";b;pause();} |
---|
| 271 | return(e); |
---|
| 272 | } |
---|
[449fbf] | 273 | |
---|
[226c28] | 274 | if(p<n) |
---|
| 275 | { |
---|
| 276 | a=m; |
---|
[449fbf] | 277 | } |
---|
[226c28] | 278 | else |
---|
| 279 | { |
---|
| 280 | c=m; |
---|
| 281 | } |
---|
| 282 | } |
---|
| 283 | b=b+1; |
---|
| 284 | } |
---|
[449fbf] | 285 | if(printlevel>=1){"es existieren keine Zahlen a,b>1 mit a^b=n";pause();} |
---|
| 286 | return(f); |
---|
| 287 | } |
---|
| 288 | example |
---|
| 289 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 290 | ring R = 0,x,dp; |
---|
| 291 | PerfectPowerTest(887503681); |
---|
| 292 | } |
---|
| 293 | /////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 294 | // // |
---|
| 295 | // ASK PRIMALITY TEST // |
---|
| 296 | // // |
---|
| 297 | /////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 298 | proc ask(number n) |
---|
| 299 | "USAGE: ask(n); |
---|
| 300 | ASSUME: n>1 |
---|
| 301 | RETURN: 0 if n is composite; |
---|
| 302 | 1 if n is prime; |
---|
| 303 | if printlevel>=1, you are informed what the procedure will do |
---|
| 304 | or has calculated |
---|
| 305 | NOTE: ASK-algorithm; uses proc powerpolyX for step 5 |
---|
| 306 | EXAMPLE:example ask; shows an example |
---|
| 307 | " |
---|
| 308 | { |
---|
| 309 | number c,p; |
---|
| 310 | c=0; |
---|
| 311 | p=1; |
---|
| 312 | |
---|
[226c28] | 313 | if(n==2) { return(p); } |
---|
| 314 | if(printlevel>=1){"Beginn: Test ob a^b=n fuer a,b>1";pause();} |
---|
| 315 | if(0==PerfectPowerTest(n)) // Schritt1 des ASK-Alg. |
---|
| 316 | { return(c); } |
---|
| 317 | if(printlevel>=1) |
---|
| 318 | { |
---|
| 319 | "Beginn: Berechnung von r, so dass ord(n) in Z/rZ groesser log2(n)^2 "; |
---|
| 320 | pause(); |
---|
| 321 | } |
---|
| 322 | number k,M,M2,b; |
---|
| 323 | int r; // Zeile 526-542: Schritt 2 |
---|
| 324 | M=log2(n); // darin sind die Schritte |
---|
| 325 | M2=intPart(M^2); // 3 und 4 integriert |
---|
| 326 | r=2; |
---|
[449fbf] | 327 | |
---|
[226c28] | 328 | if(gcdN(n,r)!=1) //falls ggt ungleich eins, Teiler von n gefunden, |
---|
[449fbf] | 329 | // Schritt 3 des ASK-Alg. |
---|
[226c28] | 330 | { |
---|
[449fbf] | 331 | if(printlevel>=1){"Zahl r gefunden mit r|n";"r=";r;pause();} |
---|
| 332 | return(c); |
---|
[226c28] | 333 | } |
---|
| 334 | if(r==n-1) // falls diese Bedingung erfüllt ist, ist |
---|
[449fbf] | 335 | // ggT(a,n)=1 für 0<a<=r, schritt 4 des ASK-Alg. |
---|
| 336 | { |
---|
[226c28] | 337 | if(printlevel>=1){"ggt(r,n)=1 fuer alle 1<r<n";pause();} |
---|
| 338 | return(p); |
---|
[449fbf] | 339 | } |
---|
| 340 | k=1; |
---|
| 341 | b=1; |
---|
| 342 | |
---|
| 343 | while(k<=M2) //Beginn des Ordnungstests für aktuelles r |
---|
[226c28] | 344 | { |
---|
| 345 | b=((b*n) mod r); |
---|
| 346 | if(b==1) //tritt Bedingung ein so gilt für aktuelles r,k: |
---|
| 347 | //n^k=1 mod r |
---|
| 348 | //tritt Bedingung ein, wird wegen k<=M2=intPart(log2(n)^2) |
---|
| 349 | //r erhöht,k=0 gesetzt und Ordnung erneut untersucht |
---|
| 350 | //tritt diese Bedingung beim größten k=intPart(log2(n)^2) |
---|
| 351 | //nicht ein, so ist ord_r_(n)>log2(n)^2 und Schleife |
---|
| 352 | //wird nicht mehr ausgeführt |
---|
[449fbf] | 353 | { |
---|
[226c28] | 354 | if(r==2147483647) |
---|
[449fbf] | 355 | { |
---|
[226c28] | 356 | string e="error: r überschreitet integer Bereich und darf |
---|
| 357 | nicht als Grad eines Polynoms verwendet werden"; |
---|
| 358 | return(e); |
---|
| 359 | } |
---|
| 360 | r=r+1; |
---|
| 361 | if(gcdN(n,r)!=1) //falls ggt ungleich eins, Teiler von n gefunden, |
---|
| 362 | //wird aufgrund von Schritt 3 des ASK-Alg. für |
---|
| 363 | //jeden Kandidaten r getestet |
---|
| 364 | { |
---|
| 365 | if(printlevel>=1){"Zahl r gefunden mit r|n";"r=";r;pause();} |
---|
| 366 | return(c); |
---|
| 367 | } |
---|
| 368 | if(r==n-1) //falls diese Bedingung erfüllt ist, |
---|
| 369 | //ist n wegen Zeile 571 prim |
---|
| 370 | //wird aufgrund von Schritt 4 des ASK-Alg. für |
---|
| 371 | //jeden Kandidaten r getestet |
---|
| 372 | { |
---|
| 373 | if(printlevel>=1){"ggt(r,n)=1 fuer alle 1<r<n";pause();} |
---|
| 374 | return(p); |
---|
[449fbf] | 375 | } |
---|
| 376 | |
---|
[226c28] | 377 | k=0; //für neuen Kandidaten r, muss k für den |
---|
| 378 | //Ordnungstest zurückgesetzt werden |
---|
[449fbf] | 379 | } |
---|
[226c28] | 380 | k=k+1; |
---|
| 381 | } |
---|
| 382 | if(printlevel>=1) |
---|
| 383 | { |
---|
| 384 | "Zahl r gefunden, so dass ord(n) in Z/rZ groesser log2(n)^2 "; |
---|
| 385 | "r=";r;pause(); |
---|
| 386 | } |
---|
| 387 | number l=1; // Zeile 603-628: Schritt 5 |
---|
| 388 | poly f,g; // Zeile 618 überprüft Gleichungen für |
---|
| 389 | // das jeweilige a |
---|
| 390 | g=var(1)^r-1; |
---|
| 391 | number grenze=intPart(wurzel(euler(r))*M); |
---|
| 392 | |
---|
| 393 | if(printlevel>=1) |
---|
| 394 | {"Beginn: Ueberpruefung ob (x+a)^n kongruent x^n+a mod (x^r-1,n) |
---|
| 395 | fuer 0<a<=intPart(wurzel(phi(r))*log2(n))=";grenze;pause(); |
---|
| 396 | } |
---|
| 397 | while(l<=grenze) // |
---|
| 398 | { |
---|
| 399 | if(printlevel>=1){"a=";l;} |
---|
| 400 | f=var(1)+l; |
---|
| 401 | if(powerpolyX(n,n,f,g)!=(var(1)^(int((n mod r)))+l)) |
---|
| 402 | { |
---|
| 403 | if(printlevel>=1) |
---|
| 404 | {"Fuer a=";l;"ist (x+a)^n nicht kongruent x^n+a mod (x^r-1,n)"; |
---|
| 405 | pause(); |
---|
| 406 | } |
---|
| 407 | return(c); |
---|
| 408 | } |
---|
| 409 | l=l+1; |
---|
| 410 | } |
---|
| 411 | if(printlevel>=1) |
---|
[449fbf] | 412 | {"(x+a)^n kongruent x^n+a mod (x^r-1,n) fuer 0<a<wurzel(phi(r))*log2(n)"; |
---|
[226c28] | 413 | pause(); |
---|
| 414 | } |
---|
| 415 | return(p); // Schritt 6 |
---|
[449fbf] | 416 | } |
---|
| 417 | example |
---|
| 418 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 419 | ring R = 0,x,dp; |
---|
[f3a11a] | 420 | //ask(100003); |
---|
| 421 | ask(32003); |
---|
[449fbf] | 422 | } |
---|