1 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
2 | |
---|
3 | version="$Id: gaussman.lib,v 1.8 2000-11-10 10:29:47 mschulze Exp $"; |
---|
4 | info=" |
---|
5 | LIBRARY: gaussman.lib GAUSS-MANIN CONNECTION OF A SINGULARITY |
---|
6 | |
---|
7 | AUTHOR: Mathias Schulze (mschulze@mathematik.uni-kl.de) |
---|
8 | |
---|
9 | OVERVIEW: |
---|
10 | A library to compute invariants related to the Gauss-Manin connection |
---|
11 | of an isolated hypersurface singularity |
---|
12 | |
---|
13 | PROCEDURES: |
---|
14 | monomat : monodromy matrix |
---|
15 | monospec : spectrum of monodromy |
---|
16 | vfilt : V-filtration on H''/H' |
---|
17 | singspec : singularity spectrum |
---|
18 | vjacob : V-filtration on Jacobian algebra |
---|
19 | "; |
---|
20 | |
---|
21 | LIB "jordan.lib"; |
---|
22 | |
---|
23 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
24 | |
---|
25 | static proc maxintdif(ideal e) |
---|
26 | { |
---|
27 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::maxintdif"); |
---|
28 | int i,j,id; |
---|
29 | int mid=0; |
---|
30 | for(i=ncols(e);i>=1;i--) |
---|
31 | { |
---|
32 | for(j=i-1;j>=1;j--) |
---|
33 | { |
---|
34 | id=int(e[i]-e[j]); |
---|
35 | if(id<0) |
---|
36 | { |
---|
37 | id=-id; |
---|
38 | } |
---|
39 | if(id>mid) |
---|
40 | { |
---|
41 | mid=id; |
---|
42 | } |
---|
43 | } |
---|
44 | } |
---|
45 | return(mid); |
---|
46 | } |
---|
47 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
48 | |
---|
49 | static proc maxorddif(matrix H) |
---|
50 | { |
---|
51 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::maxorddif"); |
---|
52 | int i,j,d; |
---|
53 | int d0,d1=-1,-1; |
---|
54 | for(i=nrows(H);i>=1;i--) |
---|
55 | { |
---|
56 | for(j=ncols(H);j>=1;j--) |
---|
57 | { |
---|
58 | d=ord(H[i,j]); |
---|
59 | if(d>=0) |
---|
60 | { |
---|
61 | if(d0<0||d<d0) |
---|
62 | { |
---|
63 | d0=d; |
---|
64 | } |
---|
65 | if(d1<0||d>d1) |
---|
66 | { |
---|
67 | d1=d; |
---|
68 | } |
---|
69 | } |
---|
70 | } |
---|
71 | } |
---|
72 | return(d1-d0); |
---|
73 | } |
---|
74 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
75 | |
---|
76 | static proc invunit(poly u,int n) |
---|
77 | { |
---|
78 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::invunit"); |
---|
79 | if(ord(u)>0) |
---|
80 | { |
---|
81 | ERROR("no unit"); |
---|
82 | } |
---|
83 | poly u0=jet(u,0); |
---|
84 | u=jet(1-u/u0,n); |
---|
85 | poly w=u; |
---|
86 | poly v=1+u; |
---|
87 | for(int i=n div ord(u);i>1;i--) |
---|
88 | { |
---|
89 | w=jet(w*u,n); |
---|
90 | v=v+w; |
---|
91 | } |
---|
92 | v=jet(v,n)/u0; |
---|
93 | return(v); |
---|
94 | } |
---|
95 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
96 | |
---|
97 | static proc expand(matrix M,matrix U,int n) |
---|
98 | { |
---|
99 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::expand"); |
---|
100 | for(int i=ncols(U);i>=1;i--) |
---|
101 | { |
---|
102 | U[i,i]=invunit(U[i,i],n-ord(M[i])); |
---|
103 | } |
---|
104 | return(jet(M*U,n)); |
---|
105 | } |
---|
106 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
107 | |
---|
108 | static proc redNF(module M,module N,list #) |
---|
109 | { |
---|
110 | matrix U=freemodule(ncols(M)); |
---|
111 | if(size(#)>0) |
---|
112 | { |
---|
113 | if(typeof(#[1])=="matrix") |
---|
114 | { |
---|
115 | U=#[1]; |
---|
116 | } |
---|
117 | } |
---|
118 | |
---|
119 | for(int i=ncols(M);i>=1;i--) |
---|
120 | { |
---|
121 | M[i]=M[i]/lead(U[i,i]); |
---|
122 | U[i,i]=U[i,i]/lead(U[i,i]); |
---|
123 | } |
---|
124 | N=std(N); |
---|
125 | module redNFM=matrix(0,nrows(M),ncols(M)); |
---|
126 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::redNF: reduce"); |
---|
127 | module weakNFM=reduce(M,N); |
---|
128 | while(size(weakNFM)>0) |
---|
129 | { |
---|
130 | redNFM=matrix(redNFM)+matrix(lead(weakNFM)); |
---|
131 | M=matrix(M)-matrix(lead(weakNFM))*U; |
---|
132 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::redNF: reduce"); |
---|
133 | weakNFM=reduce(M,N); |
---|
134 | } |
---|
135 | return(redNFM); |
---|
136 | } |
---|
137 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
138 | |
---|
139 | proc monomat(poly f,list #) |
---|
140 | "USAGE: <matrix> M=monomat(<poly> f); |
---|
141 | ASSUME: f defines an isolated hypersurface singularity |
---|
142 | RETURN: exp(-2*pi*i*M) is a monodromy matrix |
---|
143 | EXAMPLE: example monomat; shows an example |
---|
144 | " |
---|
145 | { |
---|
146 | int mide=-1; |
---|
147 | if(size(#)>0) |
---|
148 | { |
---|
149 | mide=0; |
---|
150 | } |
---|
151 | |
---|
152 | int i,j; |
---|
153 | int n=nvars(basering)-1; |
---|
154 | for(i=n+1;i>=1;i--) |
---|
155 | { |
---|
156 | if(var(i)>1) |
---|
157 | { |
---|
158 | ERROR("basering not local"); |
---|
159 | } |
---|
160 | } |
---|
161 | ideal J=jacob(f); |
---|
162 | ideal sJ=std(J); |
---|
163 | if(vdim(sJ)<=0) |
---|
164 | { |
---|
165 | if(vdim(sJ)==0) |
---|
166 | { |
---|
167 | ERROR("singularity not singular"); |
---|
168 | } |
---|
169 | else |
---|
170 | { |
---|
171 | ERROR("singularity not isolated"); |
---|
172 | } |
---|
173 | } |
---|
174 | ideal m=kbase(sJ); |
---|
175 | int mu,modm=ncols(m),maxorddif(m); |
---|
176 | |
---|
177 | ideal w=f*m; |
---|
178 | matrix U=freemodule(mu); |
---|
179 | matrix A0[mu][mu],A,C,D; |
---|
180 | list l; |
---|
181 | module H,dH=freemodule(mu),freemodule(mu); |
---|
182 | module H0; |
---|
183 | int sdH=1; |
---|
184 | int k=-1; |
---|
185 | int K,N; |
---|
186 | |
---|
187 | while(k<K||sdH>0) |
---|
188 | { |
---|
189 | k++; |
---|
190 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monomat: k="+string(k)); |
---|
191 | |
---|
192 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monomat: compute C"); |
---|
193 | C=coeffs(redNF(w,sJ,U),m); |
---|
194 | A0=A0+C*var(1)^k; |
---|
195 | |
---|
196 | if(sdH>0) |
---|
197 | { |
---|
198 | H0=H; |
---|
199 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monomat: compute dH"); |
---|
200 | dH=jet(module(A0*dH+var(1)^2*diff(matrix(dH),var(1))),k); |
---|
201 | H=H*var(1)+dH; |
---|
202 | |
---|
203 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monomat: test dH==0"); |
---|
204 | sdH=size(reduce(H,std(H0*var(1)))); |
---|
205 | if(sdH>0) |
---|
206 | { |
---|
207 | A0=A0-var(1); |
---|
208 | } |
---|
209 | else |
---|
210 | { |
---|
211 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monomat: basis of saturation"); |
---|
212 | H=minbase(H0); |
---|
213 | int modH=maxorddif(H); |
---|
214 | K=modH+1; |
---|
215 | } |
---|
216 | } |
---|
217 | |
---|
218 | if(k==K&&sdH==0) |
---|
219 | { |
---|
220 | N=k-modH; |
---|
221 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monomat: A on saturation"); |
---|
222 | l=division(H*var(1),A0*H+var(1)^2*diff(matrix(H),var(1))); |
---|
223 | A=expand(l[1],l[2],N-1); |
---|
224 | if(mide<0) |
---|
225 | { |
---|
226 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monomat: eigenvalues e of A"); |
---|
227 | ideal e=jordan(A,-1)[1]; |
---|
228 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monomat: e="+string(e)); |
---|
229 | mide=maxintdif(e); |
---|
230 | K=K+mide; |
---|
231 | } |
---|
232 | } |
---|
233 | |
---|
234 | if(k<K||sdH>0) |
---|
235 | { |
---|
236 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monomat: division by J"); |
---|
237 | l=division(J,ideal(matrix(w)-matrix(m)*C*U)); |
---|
238 | D=l[1]; |
---|
239 | |
---|
240 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monomat: compute w/U"); |
---|
241 | for(j=mu;j>=1;j--) |
---|
242 | { |
---|
243 | if(l[2][j,j]!=0) |
---|
244 | { |
---|
245 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
246 | "//gaussman::monomat: compute U["+string(j)+"]"); |
---|
247 | U[j,j]=U[j,j]*l[2][j,j]; |
---|
248 | } |
---|
249 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
250 | "//gaussman::monomat: compute w["+string(j)+"]"); |
---|
251 | w[j]=0; |
---|
252 | for(i=n+1;i>=1;i--) |
---|
253 | { |
---|
254 | w[j]=w[j]+U[j,j]*diff(D[i,j],var(i))-diff(U[j,j],var(i))*D[i,j]; |
---|
255 | } |
---|
256 | } |
---|
257 | U=U*U; |
---|
258 | } |
---|
259 | } |
---|
260 | |
---|
261 | while(mide>0) |
---|
262 | { |
---|
263 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monomat: mide="+string(mide)); |
---|
264 | |
---|
265 | intvec b; |
---|
266 | b[mu]=0; |
---|
267 | U=0; |
---|
268 | module dU; |
---|
269 | A0=jet(A,0); |
---|
270 | matrix A0e; |
---|
271 | for(i=ncols(e);i>=1;i--) |
---|
272 | { |
---|
273 | A0e=freemodule(mu); |
---|
274 | for(j=n;j>=0;j--) // Potenzen von Matrizen? |
---|
275 | { |
---|
276 | A0e=A0e*(A0-e[i]); |
---|
277 | } |
---|
278 | dU=syz(A0e); |
---|
279 | U=dU+U; |
---|
280 | b[i]=size(dU); |
---|
281 | } |
---|
282 | A=division(U,A*U)[1]; |
---|
283 | |
---|
284 | intvec ide; |
---|
285 | ide[mu]=0; |
---|
286 | for(i=ncols(e);i>=1;i--) |
---|
287 | { |
---|
288 | for(j=i-1;j>=1;j--) |
---|
289 | { |
---|
290 | k=int(e[j]-e[i]); |
---|
291 | if(k>ide[i]) |
---|
292 | { |
---|
293 | ide[i]=k; |
---|
294 | } |
---|
295 | if(-k>ide[j]) |
---|
296 | { |
---|
297 | ide[j]=-k; |
---|
298 | } |
---|
299 | } |
---|
300 | } |
---|
301 | for(j,k=ncols(b),mu;j>=1;j--) |
---|
302 | { |
---|
303 | for(i=b[j];i>=1;i--) |
---|
304 | { |
---|
305 | ide[k]=ide[j]; |
---|
306 | k--; |
---|
307 | } |
---|
308 | } |
---|
309 | |
---|
310 | for(i=mu;i>=1;i--) |
---|
311 | { |
---|
312 | if(ide[i]>0) |
---|
313 | { |
---|
314 | A[i,i]=A[i,i]+1; |
---|
315 | e[i]=e[i]+1; |
---|
316 | } |
---|
317 | for(j=mu;j>=1;j--) |
---|
318 | { |
---|
319 | if(ide[i]==0&&ide[j]>0) |
---|
320 | { |
---|
321 | A[i,j]=A[i,j]*var(1); |
---|
322 | } |
---|
323 | else |
---|
324 | { |
---|
325 | if(ide[i]>0&&ide[j]==0) |
---|
326 | { |
---|
327 | A[i,j]=A[i,j]/var(1); |
---|
328 | } |
---|
329 | } |
---|
330 | } |
---|
331 | } |
---|
332 | mide--; |
---|
333 | } |
---|
334 | |
---|
335 | return(jet(A,0)); |
---|
336 | } |
---|
337 | example |
---|
338 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
339 | ring R=0,(x,y),ds; |
---|
340 | poly f=x5+x2y2+y5; |
---|
341 | matrix M=monomat(f); |
---|
342 | print(M); |
---|
343 | } |
---|
344 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
345 | |
---|
346 | proc monospec(poly f) |
---|
347 | "USAGE: <matrix> M=monospec(<poly> f); |
---|
348 | ASSUME: f defines an isolated hypersurface singularity |
---|
349 | RETURN: the spectrum of exp(-2*pi*i*M) is the spectrum of monodromy |
---|
350 | EXAMPLE: example monospec; shows an example |
---|
351 | " |
---|
352 | { |
---|
353 | return(monomat(f,0)); |
---|
354 | } |
---|
355 | example |
---|
356 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
357 | ring R=0,(x,y),ds; |
---|
358 | poly f=x5+x2y2+y5; |
---|
359 | matrix M=monospec(f); |
---|
360 | print(M); |
---|
361 | } |
---|
362 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
363 | |
---|
364 | proc vfilt(poly f,list #) |
---|
365 | "USAGE: <list> l=vfilt(<poly> f); |
---|
366 | ASSUME: f defines an isolated hypersurface singularity |
---|
367 | RETURN: <ideal> l[1] : spectral numbers in increasing order |
---|
368 | <intvec> l[2] : |
---|
369 | <int> l[2][i] : multiplicity of spectral number l[1][i] |
---|
370 | <list> l[3] : |
---|
371 | <module> l[3][i] : vector space basis of l[1][i]-th graded part |
---|
372 | of the V-filtration on H''/H' in terms of l[4] |
---|
373 | <ideal> l[4] : monomial vector space basis of H''/H' |
---|
374 | <ideal> l[5] : standard basis of Jacobian ideal |
---|
375 | EXAMPLE: example vfilt; shows an example |
---|
376 | " |
---|
377 | { |
---|
378 | int i,j; |
---|
379 | int n=nvars(basering)-1; |
---|
380 | for(i=n+1;i>=1;i--) |
---|
381 | { |
---|
382 | if(var(i)>1) |
---|
383 | { |
---|
384 | ERROR("basering not local"); |
---|
385 | } |
---|
386 | } |
---|
387 | ideal J=jacob(f); |
---|
388 | ideal sJ=std(J); |
---|
389 | if(vdim(sJ)<=0) |
---|
390 | { |
---|
391 | if(vdim(sJ)==0) |
---|
392 | { |
---|
393 | ERROR("singularity not singular"); |
---|
394 | } |
---|
395 | else |
---|
396 | { |
---|
397 | ERROR("singularity not isolated"); |
---|
398 | } |
---|
399 | } |
---|
400 | ideal m=kbase(sJ); |
---|
401 | int mu,modm=ncols(m),maxorddif(m); |
---|
402 | |
---|
403 | ideal w=f*m; |
---|
404 | matrix U=freemodule(mu); |
---|
405 | matrix A[mu][mu],C,D; |
---|
406 | list l; |
---|
407 | module H,dH=freemodule(mu),freemodule(mu); |
---|
408 | module H0; |
---|
409 | int sdH=1; |
---|
410 | int k=-1; |
---|
411 | int K; |
---|
412 | |
---|
413 | while(k<K||sdH>0) |
---|
414 | { |
---|
415 | k++; |
---|
416 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: k="+string(k)); |
---|
417 | |
---|
418 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: compute C"); |
---|
419 | C=coeffs(redNF(w,sJ,U),m); |
---|
420 | A=A+C*var(1)^k; |
---|
421 | |
---|
422 | if(sdH>0) |
---|
423 | { |
---|
424 | H0=H; |
---|
425 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: compute dH"); |
---|
426 | dH=jet(module(A*dH+var(1)^2*diff(matrix(dH),var(1))),k); |
---|
427 | H=H*var(1)+dH; |
---|
428 | |
---|
429 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: test dH==0"); |
---|
430 | sdH=size(reduce(H,std(H0*var(1)))); |
---|
431 | if(sdH>0) |
---|
432 | { |
---|
433 | A=A-var(1); |
---|
434 | } |
---|
435 | else |
---|
436 | { |
---|
437 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: basis of saturation"); |
---|
438 | H=minbase(H0); |
---|
439 | int modH=maxorddif(H); |
---|
440 | if(k<n) |
---|
441 | { |
---|
442 | K=modH+n+1; |
---|
443 | } |
---|
444 | else |
---|
445 | { |
---|
446 | K=modH+k+1; |
---|
447 | } |
---|
448 | H0=freemodule(mu)*var(1)^k; |
---|
449 | } |
---|
450 | } |
---|
451 | |
---|
452 | if(k<K||sdH>0) |
---|
453 | { |
---|
454 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: division by J"); |
---|
455 | l=division(J,ideal(matrix(w)-matrix(m)*C*U)); |
---|
456 | D=l[1]; |
---|
457 | |
---|
458 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monomat: compute w/U"); |
---|
459 | for(j=mu;j>=1;j--) |
---|
460 | { |
---|
461 | if(l[2][j,j]!=0) |
---|
462 | { |
---|
463 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
464 | "//gaussman::monomat: compute U["+string(j)+"]"); |
---|
465 | U[j,j]=U[j,j]*l[2][j,j]; |
---|
466 | } |
---|
467 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
468 | "//gaussman::monomat: compute w["+string(j)+"]"); |
---|
469 | w[j]=0; |
---|
470 | for(i=n+1;i>=1;i--) |
---|
471 | { |
---|
472 | w[j]=w[j]+U[j,j]*diff(D[i,j],var(i))-diff(U[j,j],var(i))*D[i,j]; |
---|
473 | } |
---|
474 | } |
---|
475 | U=U*U; |
---|
476 | } |
---|
477 | } |
---|
478 | int N=k-modH; |
---|
479 | |
---|
480 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: transform H0 to saturation"); |
---|
481 | l=division(H,H0); |
---|
482 | H0=expand(l[1],l[2],N-1); |
---|
483 | |
---|
484 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: H0 as vector space V0"); |
---|
485 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: H1 as vector space V1"); |
---|
486 | poly p; |
---|
487 | int i0,j0,i1,j1; |
---|
488 | matrix V0[mu*N][mu*N]; |
---|
489 | matrix V1[mu*N][mu*(N-1)]; |
---|
490 | for(i0=mu;i0>=1;i0--) |
---|
491 | { |
---|
492 | for(i1=mu;i1>=1;i1--) |
---|
493 | { |
---|
494 | p=H0[i1,i0]; |
---|
495 | while(p!=0) |
---|
496 | { |
---|
497 | j1=leadexp(p)[1]; |
---|
498 | for(j0=N-j1-1;j0>=0;j0--) |
---|
499 | { |
---|
500 | V0[i1+(j1+j0)*mu,i0+j0*mu]=V0[i1+(j1+j0)*mu,i0+j0*mu]+leadcoef(p); |
---|
501 | if(j1+j0+1<N) |
---|
502 | { |
---|
503 | V1[i1+(j1+j0+1)*mu,i0+j0*mu]= |
---|
504 | V1[i1+(j1+j0+1)*mu,i0+j0*mu]+leadcoef(p); |
---|
505 | } |
---|
506 | } |
---|
507 | p=p-lead(p); |
---|
508 | } |
---|
509 | } |
---|
510 | } |
---|
511 | |
---|
512 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: A on saturation"); |
---|
513 | l=division(H*var(1),A*H+var(1)^2*diff(matrix(H),var(1))); |
---|
514 | A=expand(l[1],l[2],N-1); |
---|
515 | |
---|
516 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: matrix M of A"); |
---|
517 | matrix M[mu*N][mu*N]; |
---|
518 | for(i0=mu;i0>=1;i0--) |
---|
519 | { |
---|
520 | for(i1=mu;i1>=1;i1--) |
---|
521 | { |
---|
522 | p=A[i1,i0]; |
---|
523 | while(p!=0) |
---|
524 | { |
---|
525 | j1=leadexp(p)[1]; |
---|
526 | for(j0=N-j1-1;j0>=0;j0--) |
---|
527 | { |
---|
528 | M[i1+(j0+j1)*mu,i0+j0*mu]=leadcoef(p); |
---|
529 | } |
---|
530 | p=p-lead(p); |
---|
531 | } |
---|
532 | } |
---|
533 | } |
---|
534 | for(i0=mu;i0>=1;i0--) |
---|
535 | { |
---|
536 | for(j0=N-1;j0>=0;j0--) |
---|
537 | { |
---|
538 | M[i0+j0*mu,i0+j0*mu]=M[i0+j0*mu,i0+j0*mu]+j0; |
---|
539 | } |
---|
540 | } |
---|
541 | |
---|
542 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: eigenvalues eA of A"); |
---|
543 | ideal eA=jordan(A,-1)[1]; |
---|
544 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: eA="+string(eA)); |
---|
545 | |
---|
546 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: eigenvalues eM of M"); |
---|
547 | ideal eM; |
---|
548 | k=0; |
---|
549 | intvec u; |
---|
550 | for(i=N;i>=1;i--) |
---|
551 | { |
---|
552 | u[i]=1; |
---|
553 | } |
---|
554 | i0=1; |
---|
555 | while(u[N]<=ncols(eA)) |
---|
556 | { |
---|
557 | for(i,i1=i0+1,i0;i<=N;i++) |
---|
558 | { |
---|
559 | if(eA[u[i]]+i<eA[u[i1]]+i1) |
---|
560 | { |
---|
561 | i1=i; |
---|
562 | } |
---|
563 | } |
---|
564 | k++; |
---|
565 | eM[k]=eA[u[i1]]+i1-1; |
---|
566 | u[i1]=u[i1]+1; |
---|
567 | if(u[i1]>ncols(eA)) |
---|
568 | { |
---|
569 | i0=i1+1; |
---|
570 | } |
---|
571 | } |
---|
572 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: eM="+string(eM)); |
---|
573 | |
---|
574 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: V-filtration on H0/H1"); |
---|
575 | ideal s; |
---|
576 | k=0; |
---|
577 | list V; |
---|
578 | matrix Me; |
---|
579 | V[ncols(eM)+1]=std(V1); |
---|
580 | intvec d; |
---|
581 | if(size(#)>0) |
---|
582 | { |
---|
583 | for(i=ncols(eM);number(eM[i])-1>number(n-1)/2;i--) |
---|
584 | { |
---|
585 | Me=freemodule(mu*N); |
---|
586 | for(i0=n;i0>=0;i0--) // Potenzen von Matrizen? |
---|
587 | { |
---|
588 | Me=Me*(M-eM[i]); |
---|
589 | } |
---|
590 | |
---|
591 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
592 | "//gaussman::vfilt: compute V["+string(i)+"]"); |
---|
593 | V1=module(V1)+syz(Me); |
---|
594 | V[i]=std(intersect(V1,V0)); |
---|
595 | |
---|
596 | if(size(V[i])>size(V[i+1])) |
---|
597 | { |
---|
598 | k++; |
---|
599 | s[k]=eM[i]-1; |
---|
600 | d[k]=size(V[i])-size(V[i+1]); |
---|
601 | } |
---|
602 | } |
---|
603 | |
---|
604 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: symmetry index reached"); |
---|
605 | j=k; |
---|
606 | if(number(eM[i])-1==number(n-1)/2) |
---|
607 | { |
---|
608 | Me=freemodule(mu*N); |
---|
609 | for(i0=n;i0>=0;i0--) // Potenzen von Matrizen? |
---|
610 | { |
---|
611 | Me=Me*(M-eM[i]); |
---|
612 | } |
---|
613 | |
---|
614 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
615 | "//gaussman::vfilt: compute V["+string(i)+"]"); |
---|
616 | V1=module(V1)+syz(Me); |
---|
617 | V[i]=std(intersect(V1,V0)); |
---|
618 | |
---|
619 | if(size(V[i])>size(V[i+1])) |
---|
620 | { |
---|
621 | k++; |
---|
622 | s[k]=eM[i]-1; |
---|
623 | d[k]=size(V[i])-size(V[i+1]); |
---|
624 | } |
---|
625 | } |
---|
626 | |
---|
627 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: apply symmetry"); |
---|
628 | while(j>=1) |
---|
629 | { |
---|
630 | k++; |
---|
631 | s[k]=s[j]; |
---|
632 | s[j]=n-1-s[k]; |
---|
633 | d[k]=d[j]; |
---|
634 | j--; |
---|
635 | } |
---|
636 | |
---|
637 | return(list(s,d)); |
---|
638 | } |
---|
639 | else |
---|
640 | { |
---|
641 | list v; |
---|
642 | j=-1; |
---|
643 | for(i=ncols(eM);i>=1;i--) |
---|
644 | { |
---|
645 | Me=freemodule(mu*N); |
---|
646 | for(i0=n;i0>=0;i0--) // Potenzen von Matrizen? |
---|
647 | { |
---|
648 | Me=Me*(M-eM[i]); |
---|
649 | } |
---|
650 | |
---|
651 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
652 | "//gaussman::vfilt: compute V["+string(i)+"]"); |
---|
653 | V1=module(V1)+syz(Me); |
---|
654 | V[i]=std(intersect(V1,V0)); |
---|
655 | |
---|
656 | if(size(V[i])>size(V[i+1])) |
---|
657 | { |
---|
658 | if(number(eM[i]-1)>=number(n-1)/2) |
---|
659 | { |
---|
660 | k++; |
---|
661 | s[k]=eM[i]-1; |
---|
662 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: transform to V0"); |
---|
663 | v[k]=matrix(freemodule(ncols(V[i])),mu,mu*N)*division(V0,V[i])[1]; |
---|
664 | } |
---|
665 | else |
---|
666 | { |
---|
667 | if(j<0) |
---|
668 | { |
---|
669 | if(s[k]==number(n-1)/2) |
---|
670 | { |
---|
671 | j=k-1; |
---|
672 | } |
---|
673 | else |
---|
674 | { |
---|
675 | j=k; |
---|
676 | } |
---|
677 | } |
---|
678 | k++; |
---|
679 | s[k]=s[j]; |
---|
680 | s[j]=eM[i]-1; |
---|
681 | v[k]=v[j]; |
---|
682 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: transform to V0"); |
---|
683 | v[j]=matrix(freemodule(ncols(V[i])),mu,mu*N)*division(V0,V[i])[1]; |
---|
684 | j--; |
---|
685 | } |
---|
686 | } |
---|
687 | } |
---|
688 | |
---|
689 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfilt: graded parts"); |
---|
690 | option(redSB); |
---|
691 | for(k=1;k<size(v);k++) |
---|
692 | { |
---|
693 | v[k]=std(reduce(v[k],std(v[k+1]))); |
---|
694 | d[k]=size(v[k]); |
---|
695 | } |
---|
696 | v[k]=std(v[k]); |
---|
697 | d[k]=size(v[k]); |
---|
698 | |
---|
699 | return(list(s,d,v,m,sJ)); |
---|
700 | } |
---|
701 | } |
---|
702 | example |
---|
703 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
704 | ring R=0,(x,y),ds; |
---|
705 | poly f=x5+x2y2+y5; |
---|
706 | list l=vfilt(f); |
---|
707 | print(l); |
---|
708 | } |
---|
709 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
710 | |
---|
711 | proc singspec(poly f) |
---|
712 | "USAGE: <list> l=singspec(<poly> f); |
---|
713 | ASSUME: f defines an isolated hypersurface singularity |
---|
714 | RETURN: <ideal> l[1] : spectral numbers in increasing order |
---|
715 | <intvec> l[2] : |
---|
716 | <int> l[2][i] : multiplicity of spectral number l[1][i] |
---|
717 | EXAMPLE: example singspec; shows an example |
---|
718 | " |
---|
719 | { |
---|
720 | return(vfilt(f,0)); |
---|
721 | } |
---|
722 | example |
---|
723 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
724 | ring R=0,(x,y),ds; |
---|
725 | poly f=x5+x2y2+y5; |
---|
726 | list l=singspec(f); |
---|
727 | print(l); |
---|
728 | } |
---|
729 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
730 | |
---|
731 | proc gamma(list l) |
---|
732 | "USAGE: <number> g=gamma(singspec(<poly> f)); |
---|
733 | ASSUME: f defines an isolated hypersurface singularity |
---|
734 | RETURN: Hertling's gamma invariant |
---|
735 | EXAMPLE: example gamma; shows an example |
---|
736 | " |
---|
737 | { |
---|
738 | ideal s=l[1]; |
---|
739 | intvec d=l[2]; |
---|
740 | int n=nvars(basering)-1; |
---|
741 | number g=0; |
---|
742 | int i,j; |
---|
743 | for(i=1;i<=ncols(s);i++) |
---|
744 | { |
---|
745 | for(j=1;j<=d[i];j++) |
---|
746 | { |
---|
747 | g=g+(number(s[i])-number(n-1)/2)^2; |
---|
748 | } |
---|
749 | } |
---|
750 | g=-g/4+sum(d)*number(s[ncols(s)]-s[1])/48; |
---|
751 | return(g); |
---|
752 | } |
---|
753 | example |
---|
754 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
755 | ring R=0,(x,y),ds; |
---|
756 | poly f=x5+x2y2+y5; |
---|
757 | gamma(singspec(f)); |
---|
758 | } |
---|
759 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
760 | |
---|
761 | proc gamma4(list l) |
---|
762 | "USAGE: <number> g4=gamma4(singspec(<poly> f)); |
---|
763 | ASSUME: f defines an isolated hypersurface singularity |
---|
764 | RETURN: Hertling's gamma(4) invariant |
---|
765 | EXAMPLE: example gamma4; shows an example |
---|
766 | " |
---|
767 | { |
---|
768 | ideal s=l[1]; |
---|
769 | intvec d=l[2]; |
---|
770 | int n=nvars(basering)-1; |
---|
771 | number g4=0; |
---|
772 | int i,j; |
---|
773 | for(i=1;i<=ncols(s);i++) |
---|
774 | { |
---|
775 | for(j=1;j<=d[i];j++) |
---|
776 | { |
---|
777 | g4=g4+(number(s[i])-number(n-1)/2)^4; |
---|
778 | } |
---|
779 | } |
---|
780 | g4=g4-(number(s[ncols(s)]-s[1])/12-1/30)* |
---|
781 | (sum(d)*number(s[ncols(s)]-s[1])/4-24*gamma(l)); |
---|
782 | return(g4); |
---|
783 | } |
---|
784 | example |
---|
785 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
786 | ring R=0,(x,y),ds; |
---|
787 | poly f=x5+x2y2+y5; |
---|
788 | gamma4(singspec(f)); |
---|
789 | } |
---|
790 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
791 | |
---|
792 | proc vjacob(list l) |
---|
793 | "USAGE: <list> l=vjacob(vfilt(<poly> f)); |
---|
794 | ASSUME: f defines an isolated hypersurface singularity |
---|
795 | RETURN: <ideal> l[1] : spectral numbers of the V-filtration on the |
---|
796 | Jacobian algebra in increasing order |
---|
797 | <intvec> l[2] : |
---|
798 | <int> l[2][i] : multiplicity of spectral number l[1][i] |
---|
799 | <list> l[3] : |
---|
800 | <module> l[3][i] : vector space basis of l[1][i]-th graded part |
---|
801 | of the V-filtration on the Jaconian algebra |
---|
802 | in terms of l[4] |
---|
803 | <ideal> l[4] : monomial vector space basis of the Jacobian algebra |
---|
804 | <ideal> l[5] : standard basis of Jacobian ideal |
---|
805 | EXAMPLE: example vjacob; shows an example |
---|
806 | " |
---|
807 | { |
---|
808 | def s,d,v,m,sJ=l[1..5]; |
---|
809 | int mu=ncols(m); |
---|
810 | |
---|
811 | int i,j,k; |
---|
812 | module V=v[1]; |
---|
813 | for(i=2;i<=size(v);i++) |
---|
814 | { |
---|
815 | V=V,v[i]; |
---|
816 | } |
---|
817 | |
---|
818 | list M; |
---|
819 | for(i=ncols(m);i>=1;i--) |
---|
820 | { |
---|
821 | M[i]=lift(V,coeffs(redNF(m[i]*m,sJ),m)*V); |
---|
822 | } |
---|
823 | |
---|
824 | int i0,j0,i1,j1; |
---|
825 | number r0=number(s[1]-s[ncols(s)]); |
---|
826 | number r1,r2; |
---|
827 | matrix M0; |
---|
828 | module L; |
---|
829 | list v0=freemodule(ncols(m)); |
---|
830 | ideal s0=r0; |
---|
831 | |
---|
832 | while(r0<number(s[ncols(s)]-s[1])) |
---|
833 | { |
---|
834 | r1=number(s[ncols(s)]-s[1]); |
---|
835 | for(j=ncols(s);j>=1;j--) |
---|
836 | { |
---|
837 | for(i=ncols(s);i>=1;i--) |
---|
838 | { |
---|
839 | r2=number(s[i]-s[j]); |
---|
840 | if(r2>r0&&r2<r1) |
---|
841 | { |
---|
842 | r1=r2; |
---|
843 | } |
---|
844 | else |
---|
845 | { |
---|
846 | if(r2<=r0) |
---|
847 | { |
---|
848 | i=0; |
---|
849 | } |
---|
850 | } |
---|
851 | } |
---|
852 | } |
---|
853 | r0=r1; |
---|
854 | |
---|
855 | l=ideal(); |
---|
856 | for(k=ncols(m);k>=2;k--) |
---|
857 | { |
---|
858 | l=l+list(ideal()); |
---|
859 | } |
---|
860 | |
---|
861 | j0=mu-d[ncols(s)]+1; |
---|
862 | for(j=ncols(s);j>=1;j--) |
---|
863 | { |
---|
864 | i0=1; |
---|
865 | i=1; |
---|
866 | while(i<ncols(s)&&s[i]<s[j]+r0) |
---|
867 | { |
---|
868 | i0=i0+d[i]; |
---|
869 | i++; |
---|
870 | } |
---|
871 | if(s[i]<s[j]+r0) |
---|
872 | { |
---|
873 | i0=i0+d[i]; |
---|
874 | i++; |
---|
875 | } |
---|
876 | for(k=1;k<=ncols(m);k++) |
---|
877 | { |
---|
878 | M0=M[k]; |
---|
879 | if(i0>1) |
---|
880 | { |
---|
881 | l[k]=l[k],M0[1..i0-1,j0..j0+d[j]-1]; |
---|
882 | } |
---|
883 | } |
---|
884 | j0=j0-d[j]; |
---|
885 | } |
---|
886 | |
---|
887 | L=transpose(module(l[1])); |
---|
888 | for(k=2;k<=ncols(m);k++) |
---|
889 | { |
---|
890 | L=L,transpose(module(l[k])); |
---|
891 | } |
---|
892 | |
---|
893 | v0=v0+list(syz(L)); |
---|
894 | s0=s0,r0; |
---|
895 | } |
---|
896 | |
---|
897 | option(redSB); |
---|
898 | for(i=1;i<size(v0);i++) |
---|
899 | { |
---|
900 | v0[i+1]=std(v0[i+1]); |
---|
901 | v0[i]=std(reduce(v0[i],v0[i+1])); |
---|
902 | } |
---|
903 | |
---|
904 | i=1; |
---|
905 | while(size(v0[i])==0) |
---|
906 | { |
---|
907 | i++; |
---|
908 | } |
---|
909 | list v1=v0[i]; |
---|
910 | intvec d1=size(v0[i]); |
---|
911 | ideal s1=s0[i]; |
---|
912 | i++; |
---|
913 | while(i<=size(v0)) |
---|
914 | { |
---|
915 | if(size(v0[i])>0) |
---|
916 | { |
---|
917 | v1=v1+list(v0[i]); |
---|
918 | d1=d1,size(v0[i]); |
---|
919 | s1=s1,s0[i]; |
---|
920 | } |
---|
921 | i++; |
---|
922 | } |
---|
923 | return(list(s1,d1,v1,m)); |
---|
924 | } |
---|
925 | example |
---|
926 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
927 | ring R=0,(x,y),ds; |
---|
928 | poly f=x5+x2y2+y5; |
---|
929 | vjacob(vfilt(f)); |
---|
930 | } |
---|
931 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
932 | |
---|
933 | proc tst_gaussm(poly f) |
---|
934 | { |
---|
935 | echo=2; |
---|
936 | basering; |
---|
937 | f; |
---|
938 | print(monomat(f)); |
---|
939 | print(monospec(f)); |
---|
940 | list l=vfilt(f); |
---|
941 | l; |
---|
942 | vjacob(l); |
---|
943 | l=singspec(f); |
---|
944 | l; |
---|
945 | gamma(l); |
---|
946 | gamma4(l); |
---|
947 | } |
---|
948 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|