1 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
2 | |
---|
3 | version="$Id: gaussman.lib,v 1.19 2000-12-23 17:11:30 greuel Exp $"; |
---|
4 | category="Singularities"; |
---|
5 | info=" |
---|
6 | LIBRARY: gaussman.lib Gauss-Manin Connection of a Singularity |
---|
7 | |
---|
8 | AUTHOR: Mathias Schulze, email: mschulze@mathematik.uni-kl.de |
---|
9 | |
---|
10 | OVERVIEW: A library to compute invariants related to the Gauss-Manin connection |
---|
11 | of a an isolated hypersurface singularity. |
---|
12 | |
---|
13 | PROCEDURES: |
---|
14 | monodromy(f[,...]); monodromy matrix of f, spectrum of monodromy of f |
---|
15 | vfiltration(f[,...]); V-filtration of f on H''/H', singularity spectrum of f |
---|
16 | vfiltjacalg(...); V-filtration on Jacobian algebra |
---|
17 | gamma(...); Hertling's gamma invariant |
---|
18 | gamma4(...); Hertling's gamma4 invariant |
---|
19 | |
---|
20 | SEE ALSO: mondromy.lib, spectrum.lib, jordan.lib |
---|
21 | |
---|
22 | KEYWORDS: singularities; Gauss-Manin connection; monodromy; spectrum; |
---|
23 | Brieskorn lattice; Hodge filtration; V-filtration; |
---|
24 | "; |
---|
25 | |
---|
26 | LIB "jordan.lib"; |
---|
27 | |
---|
28 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
29 | |
---|
30 | static proc maxintdif(ideal e) |
---|
31 | { |
---|
32 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::maxintdif"); |
---|
33 | int i,j,id; |
---|
34 | int mid=0; |
---|
35 | for(i=ncols(e);i>=1;i--) |
---|
36 | { |
---|
37 | for(j=i-1;j>=1;j--) |
---|
38 | { |
---|
39 | id=int(e[i]-e[j]); |
---|
40 | if(id<0) |
---|
41 | { |
---|
42 | id=-id; |
---|
43 | } |
---|
44 | if(id>mid) |
---|
45 | { |
---|
46 | mid=id; |
---|
47 | } |
---|
48 | } |
---|
49 | } |
---|
50 | return(mid); |
---|
51 | } |
---|
52 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
53 | |
---|
54 | static proc maxorddif(matrix H) |
---|
55 | { |
---|
56 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::maxorddif"); |
---|
57 | int i,j,d; |
---|
58 | int d0,d1=-1,-1; |
---|
59 | for(i=nrows(H);i>=1;i--) |
---|
60 | { |
---|
61 | for(j=ncols(H);j>=1;j--) |
---|
62 | { |
---|
63 | d=ord(H[i,j]); |
---|
64 | if(d>=0) |
---|
65 | { |
---|
66 | if(d0<0||d<d0) |
---|
67 | { |
---|
68 | d0=d; |
---|
69 | } |
---|
70 | if(d1<0||d>d1) |
---|
71 | { |
---|
72 | d1=d; |
---|
73 | } |
---|
74 | } |
---|
75 | } |
---|
76 | } |
---|
77 | return(d1-d0); |
---|
78 | } |
---|
79 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
80 | |
---|
81 | static proc invunit(poly u,int n) |
---|
82 | { |
---|
83 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::invunit"); |
---|
84 | if(ord(u)>0) |
---|
85 | { |
---|
86 | ERROR("no unit"); |
---|
87 | } |
---|
88 | poly u0=jet(u,0); |
---|
89 | u=jet(1-u/u0,n); |
---|
90 | poly w=u; |
---|
91 | poly v=1+u; |
---|
92 | for(int i=n div ord(u);i>1;i--) |
---|
93 | { |
---|
94 | w=jet(w*u,n); |
---|
95 | v=v+w; |
---|
96 | } |
---|
97 | v=jet(v,n)/u0; |
---|
98 | return(v); |
---|
99 | } |
---|
100 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
101 | |
---|
102 | static proc expand(matrix M,matrix U,int n) |
---|
103 | { |
---|
104 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::expand"); |
---|
105 | for(int i=ncols(U);i>=1;i--) |
---|
106 | { |
---|
107 | U[i,i]=invunit(U[i,i],n-ord(M[i])); |
---|
108 | } |
---|
109 | return(jet(M*U,n)); |
---|
110 | } |
---|
111 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
112 | |
---|
113 | static proc redNF(module M,module N,list #) |
---|
114 | { |
---|
115 | matrix U=freemodule(ncols(M)); |
---|
116 | if(size(#)>0) |
---|
117 | { |
---|
118 | if(typeof(#[1])=="matrix") |
---|
119 | { |
---|
120 | U=#[1]; |
---|
121 | } |
---|
122 | } |
---|
123 | |
---|
124 | for(int i=ncols(M);i>=1;i--) |
---|
125 | { |
---|
126 | M[i]=M[i]/lead(U[i,i]); |
---|
127 | U[i,i]=U[i,i]/lead(U[i,i]); |
---|
128 | } |
---|
129 | N=std(N); |
---|
130 | module redNFM=matrix(0,nrows(M),ncols(M)); |
---|
131 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::redNF: reduce"); |
---|
132 | module weakNFM=reduce(M,N); |
---|
133 | while(size(weakNFM)>0) |
---|
134 | { |
---|
135 | redNFM=matrix(redNFM)+matrix(lead(weakNFM)); |
---|
136 | M=matrix(M)-matrix(lead(weakNFM))*U; |
---|
137 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::redNF: reduce"); |
---|
138 | weakNFM=reduce(M,N); |
---|
139 | } |
---|
140 | return(redNFM); |
---|
141 | } |
---|
142 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
143 | |
---|
144 | proc monodromy(poly f,list #) |
---|
145 | "USAGE: monodromy(f[,mode]); poly f, int mode[=1] |
---|
146 | ASSUME: local ordering, f isolated singularity at 0 |
---|
147 | RETURN: if mode=0 : |
---|
148 | matrix M : exp(-2*pi*i*M) monodromy matrix of f |
---|
149 | if mode=1 : |
---|
150 | ideal e : exp(-2*pi*i*e) spectrum of monodromy of f |
---|
151 | SEE ALSO: monodromy.lib, jordan.lib |
---|
152 | KEYWORDS: singularities; Gauss-Manin connection; monodromy; |
---|
153 | Brieskorn lattice |
---|
154 | EXAMPLE: example monodromy; shows an example |
---|
155 | " |
---|
156 | { |
---|
157 | int mode=1; |
---|
158 | if(size(#)>0) |
---|
159 | { |
---|
160 | if(typeof(#[1])=="int") |
---|
161 | { |
---|
162 | mode=#[1]; |
---|
163 | } |
---|
164 | } |
---|
165 | |
---|
166 | int i,j; |
---|
167 | int n=nvars(basering)-1; |
---|
168 | for(i=n+1;i>=1;i--) |
---|
169 | { |
---|
170 | if(var(i)>1) |
---|
171 | { |
---|
172 | ERROR("no local ordering"); |
---|
173 | } |
---|
174 | } |
---|
175 | ideal J=jacob(f); |
---|
176 | ideal sJ=std(J); |
---|
177 | if(vdim(sJ)<=0) |
---|
178 | { |
---|
179 | if(vdim(sJ)==0) |
---|
180 | { |
---|
181 | ERROR("no singularity at 0"); |
---|
182 | } |
---|
183 | else |
---|
184 | { |
---|
185 | ERROR("no isolated singularity at 0"); |
---|
186 | } |
---|
187 | } |
---|
188 | ideal m=kbase(sJ); |
---|
189 | int mu,modm=ncols(m),maxorddif(m); |
---|
190 | |
---|
191 | ideal w=f*m; |
---|
192 | matrix U=freemodule(mu); |
---|
193 | matrix A0[mu][mu],A,C,D; |
---|
194 | list l; |
---|
195 | module H,dH=freemodule(mu),freemodule(mu); |
---|
196 | module H0; |
---|
197 | int sdH=1; |
---|
198 | int k=-1; |
---|
199 | int K,N,mide; |
---|
200 | |
---|
201 | while(k<K||sdH>0) |
---|
202 | { |
---|
203 | k++; |
---|
204 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monodromy: k="+string(k)); |
---|
205 | |
---|
206 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monodromy: compute C"); |
---|
207 | C=coeffs(redNF(w,sJ,U),m); |
---|
208 | A0=A0+C*var(1)^k; |
---|
209 | |
---|
210 | if(sdH>0) |
---|
211 | { |
---|
212 | H0=H; |
---|
213 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monodromy: compute dH"); |
---|
214 | dH=jet(module(A0*dH+var(1)^2*diff(matrix(dH),var(1))),k); |
---|
215 | H=H*var(1)+dH; |
---|
216 | |
---|
217 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monodromy: test dH==0"); |
---|
218 | sdH=size(reduce(H,std(H0*var(1)))); |
---|
219 | if(sdH>0) |
---|
220 | { |
---|
221 | A0=A0-var(1); |
---|
222 | } |
---|
223 | else |
---|
224 | { |
---|
225 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
226 | "//gaussman::monodromy: compute basis of saturation"); |
---|
227 | H=minbase(H0); |
---|
228 | int modH=maxorddif(H); |
---|
229 | K=modH+1; |
---|
230 | } |
---|
231 | } |
---|
232 | |
---|
233 | if(k==K&&sdH==0) |
---|
234 | { |
---|
235 | N=k-modH; |
---|
236 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
237 | "//gaussman::monodromy: compute A on saturation"); |
---|
238 | l=division(H*var(1),A0*H+var(1)^2*diff(matrix(H),var(1))); |
---|
239 | A=expand(l[1],l[2],N-1); |
---|
240 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
241 | "//gaussman::monodromy: compute eigenvalues e of A"); |
---|
242 | ideal e=jordan(A,-1)[1]; |
---|
243 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monodromy: e="+string(e)); |
---|
244 | if(mode==1) |
---|
245 | { |
---|
246 | mide=maxintdif(e); |
---|
247 | K=K+mide; |
---|
248 | } |
---|
249 | } |
---|
250 | |
---|
251 | if(k<K||sdH>0) |
---|
252 | { |
---|
253 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monodromy: divide by J"); |
---|
254 | l=division(J,ideal(matrix(w)-matrix(m)*C*U)); |
---|
255 | D=l[1]; |
---|
256 | |
---|
257 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monodromy: compute w/U"); |
---|
258 | for(j=mu;j>=1;j--) |
---|
259 | { |
---|
260 | if(l[2][j,j]!=0) |
---|
261 | { |
---|
262 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
263 | "//gaussman::monodromy: compute U["+string(j)+"]"); |
---|
264 | U[j,j]=U[j,j]*l[2][j,j]; |
---|
265 | } |
---|
266 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
267 | "//gaussman::monodromy: compute w["+string(j)+"]"); |
---|
268 | w[j]=0; |
---|
269 | for(i=n+1;i>=1;i--) |
---|
270 | { |
---|
271 | w[j]=w[j]+U[j,j]*diff(D[i,j],var(i))-diff(U[j,j],var(i))*D[i,j]; |
---|
272 | } |
---|
273 | } |
---|
274 | U=U*U; |
---|
275 | } |
---|
276 | } |
---|
277 | |
---|
278 | while(mide>0) |
---|
279 | { |
---|
280 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::monodromy: mide="+string(mide)); |
---|
281 | |
---|
282 | intvec b; |
---|
283 | U=0; |
---|
284 | module dU; |
---|
285 | A0=jet(A,0); |
---|
286 | matrix A0e; |
---|
287 | for(i=ncols(e);i>=1;i--) |
---|
288 | { |
---|
289 | A0e=freemodule(mu); |
---|
290 | for(j=n;j>=0;j--) // Potenzen von Matrizen? |
---|
291 | { |
---|
292 | A0e=A0e*(A0-e[i]); |
---|
293 | } |
---|
294 | dU=syz(A0e); |
---|
295 | U=dU+U; |
---|
296 | b[i]=size(dU); |
---|
297 | } |
---|
298 | A=division(U,A*U)[1]; |
---|
299 | |
---|
300 | intvec ide; |
---|
301 | ide[mu]=0; |
---|
302 | for(i=ncols(e);i>=1;i--) |
---|
303 | { |
---|
304 | for(j=i-1;j>=1;j--) |
---|
305 | { |
---|
306 | k=int(e[j]-e[i]); |
---|
307 | if(k>ide[i]) |
---|
308 | { |
---|
309 | ide[i]=k; |
---|
310 | } |
---|
311 | if(-k>ide[j]) |
---|
312 | { |
---|
313 | ide[j]=-k; |
---|
314 | } |
---|
315 | } |
---|
316 | } |
---|
317 | for(j,k=ncols(e),mu;j>=1;j--) |
---|
318 | { |
---|
319 | for(i=b[j];i>=1;i--) |
---|
320 | { |
---|
321 | ide[k]=ide[j]; |
---|
322 | k--; |
---|
323 | } |
---|
324 | } |
---|
325 | |
---|
326 | for(i=mu;i>=1;i--) |
---|
327 | { |
---|
328 | if(ide[i]>0) |
---|
329 | { |
---|
330 | A[i,i]=A[i,i]+1; |
---|
331 | e[i]=e[i]+1; |
---|
332 | } |
---|
333 | for(j=mu;j>=1;j--) |
---|
334 | { |
---|
335 | if(ide[i]==0&&ide[j]>0) |
---|
336 | { |
---|
337 | A[i,j]=A[i,j]*var(1); |
---|
338 | } |
---|
339 | else |
---|
340 | { |
---|
341 | if(ide[i]>0&&ide[j]==0) |
---|
342 | { |
---|
343 | A[i,j]=A[i,j]/var(1); |
---|
344 | } |
---|
345 | } |
---|
346 | } |
---|
347 | } |
---|
348 | mide--; |
---|
349 | } |
---|
350 | |
---|
351 | if(mode==1) |
---|
352 | { |
---|
353 | return(jet(A,0)); |
---|
354 | } |
---|
355 | else |
---|
356 | { |
---|
357 | return(e); |
---|
358 | } |
---|
359 | } |
---|
360 | example |
---|
361 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
362 | ring R=0,(x,y),ds; |
---|
363 | poly f=x5+x2y2+y5; |
---|
364 | matrix M=monodromy(f); |
---|
365 | print(M); |
---|
366 | } |
---|
367 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
368 | |
---|
369 | proc vfiltration(poly f,list #) |
---|
370 | "USAGE: vfiltration(f[,mode]); poly f, int mode[default=1] |
---|
371 | ASSUME: local ordering, f isolated singularity at 0 |
---|
372 | RETURN: list l: |
---|
373 | @format |
---|
374 | if mode=0 or mode=1: |
---|
375 | l[1]: ideal, spectral numbers in increasing order |
---|
376 | l[2]: intvec |
---|
377 | l[2][i]: int, multiplicity of spectral number l[1][i] |
---|
378 | if mode=1 : |
---|
379 | l[3]: list |
---|
380 | l[3][i]: module, vector space basis of l[1][i]-th graded |
---|
381 | part of the V-filtration on H''/H' in terms of l[4] |
---|
382 | l[4]: ideal, monomial vector space basis of H''/H' |
---|
383 | l[5]: ideal, standard basis of Jacobian ideal |
---|
384 | @end format |
---|
385 | NOTE: H' and H'' denote Brieskorn lattices |
---|
386 | SEE ALSO: spectrum.lib |
---|
387 | KEYWORDS: singularities; Gauss-Manin connection; spectrum; |
---|
388 | Brieskorn lattice; Hodge filtration; V-filtration; |
---|
389 | EXAMPLE: example vfiltration; shows an example |
---|
390 | " |
---|
391 | { |
---|
392 | int mode=1; |
---|
393 | if(size(#)>0) |
---|
394 | { |
---|
395 | if(typeof(#[1])=="int") |
---|
396 | { |
---|
397 | mode=#[1]; |
---|
398 | } |
---|
399 | } |
---|
400 | |
---|
401 | int i,j; |
---|
402 | int n=nvars(basering)-1; |
---|
403 | for(i=n+1;i>=1;i--) |
---|
404 | { |
---|
405 | if(var(i)>1) |
---|
406 | { |
---|
407 | ERROR("no local ordering"); |
---|
408 | } |
---|
409 | } |
---|
410 | ideal J=jacob(f); |
---|
411 | ideal sJ=std(J); |
---|
412 | if(vdim(sJ)<=0) |
---|
413 | { |
---|
414 | if(vdim(sJ)==0) |
---|
415 | { |
---|
416 | ERROR("no singularity at 0"); |
---|
417 | } |
---|
418 | else |
---|
419 | { |
---|
420 | ERROR("no isolated singularity at 0"); |
---|
421 | } |
---|
422 | } |
---|
423 | ideal m=kbase(sJ); |
---|
424 | int mu,modm=ncols(m),maxorddif(m); |
---|
425 | |
---|
426 | ideal w=f*m; |
---|
427 | matrix U=freemodule(mu); |
---|
428 | matrix A[mu][mu],C,D; |
---|
429 | list l; |
---|
430 | module H,dH=freemodule(mu),freemodule(mu); |
---|
431 | module H0; |
---|
432 | int sdH=1; |
---|
433 | int k=-1; |
---|
434 | int K; |
---|
435 | |
---|
436 | while(k<K||sdH>0) |
---|
437 | { |
---|
438 | k++; |
---|
439 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfiltration: k="+string(k)); |
---|
440 | |
---|
441 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfiltration: compute C"); |
---|
442 | C=coeffs(redNF(w,sJ,U),m); |
---|
443 | A=A+C*var(1)^k; |
---|
444 | |
---|
445 | if(sdH>0) |
---|
446 | { |
---|
447 | H0=H; |
---|
448 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfiltration: compute dH"); |
---|
449 | dH=jet(module(A*dH+var(1)^2*diff(matrix(dH),var(1))),k); |
---|
450 | H=H*var(1)+dH; |
---|
451 | |
---|
452 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfiltration: test dH==0"); |
---|
453 | sdH=size(reduce(H,std(H0*var(1)))); |
---|
454 | if(sdH>0) |
---|
455 | { |
---|
456 | A=A-var(1); |
---|
457 | } |
---|
458 | else |
---|
459 | { |
---|
460 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
461 | "//gaussman::vfiltration: compute basis of saturation"); |
---|
462 | H=minbase(H0); |
---|
463 | int modH=maxorddif(H); |
---|
464 | if(k<n) |
---|
465 | { |
---|
466 | K=modH+n+1; |
---|
467 | } |
---|
468 | else |
---|
469 | { |
---|
470 | K=modH+k+1; |
---|
471 | } |
---|
472 | H0=freemodule(mu)*var(1)^k; |
---|
473 | } |
---|
474 | } |
---|
475 | |
---|
476 | if(k<K||sdH>0) |
---|
477 | { |
---|
478 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfiltration: divide by J"); |
---|
479 | l=division(J,ideal(matrix(w)-matrix(m)*C*U)); |
---|
480 | D=l[1]; |
---|
481 | |
---|
482 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfiltration: compute w/U"); |
---|
483 | for(j=mu;j>=1;j--) |
---|
484 | { |
---|
485 | if(l[2][j,j]!=0) |
---|
486 | { |
---|
487 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
488 | "//gaussman::vfiltration: compute U["+string(j)+"]"); |
---|
489 | U[j,j]=U[j,j]*l[2][j,j]; |
---|
490 | } |
---|
491 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
492 | "//gaussman::vfiltration: compute w["+string(j)+"]"); |
---|
493 | w[j]=0; |
---|
494 | for(i=n+1;i>=1;i--) |
---|
495 | { |
---|
496 | w[j]=w[j]+U[j,j]*diff(D[i,j],var(i))-diff(U[j,j],var(i))*D[i,j]; |
---|
497 | } |
---|
498 | } |
---|
499 | U=U*U; |
---|
500 | } |
---|
501 | } |
---|
502 | int N=k-modH; |
---|
503 | |
---|
504 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
505 | "//gaussman::vfiltration: transform H0 to saturation"); |
---|
506 | l=division(H,H0); |
---|
507 | H0=expand(l[1],l[2],N-1); |
---|
508 | |
---|
509 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
510 | "//gaussman::vfiltration: compute H0 as vector space V0"); |
---|
511 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
512 | "//gaussman::vfiltration: compute H1 as vector space V1"); |
---|
513 | poly p; |
---|
514 | int i0,j0,i1,j1; |
---|
515 | matrix V0[mu*N][mu*N]; |
---|
516 | matrix V1[mu*N][mu*(N-1)]; |
---|
517 | for(i0=mu;i0>=1;i0--) |
---|
518 | { |
---|
519 | for(i1=mu;i1>=1;i1--) |
---|
520 | { |
---|
521 | p=H0[i1,i0]; |
---|
522 | while(p!=0) |
---|
523 | { |
---|
524 | j1=leadexp(p)[1]; |
---|
525 | for(j0=N-j1-1;j0>=0;j0--) |
---|
526 | { |
---|
527 | V0[i1+(j1+j0)*mu,i0+j0*mu]=V0[i1+(j1+j0)*mu,i0+j0*mu]+leadcoef(p); |
---|
528 | if(j1+j0+1<N) |
---|
529 | { |
---|
530 | V1[i1+(j1+j0+1)*mu,i0+j0*mu]= |
---|
531 | V1[i1+(j1+j0+1)*mu,i0+j0*mu]+leadcoef(p); |
---|
532 | } |
---|
533 | } |
---|
534 | p=p-lead(p); |
---|
535 | } |
---|
536 | } |
---|
537 | } |
---|
538 | |
---|
539 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
540 | "//gaussman::vfiltration: compute A on saturation"); |
---|
541 | l=division(H*var(1),A*H+var(1)^2*diff(matrix(H),var(1))); |
---|
542 | A=expand(l[1],l[2],N-1); |
---|
543 | |
---|
544 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfiltration: compute matrix M of A"); |
---|
545 | matrix M[mu*N][mu*N]; |
---|
546 | for(i0=mu;i0>=1;i0--) |
---|
547 | { |
---|
548 | for(i1=mu;i1>=1;i1--) |
---|
549 | { |
---|
550 | p=A[i1,i0]; |
---|
551 | while(p!=0) |
---|
552 | { |
---|
553 | j1=leadexp(p)[1]; |
---|
554 | for(j0=N-j1-1;j0>=0;j0--) |
---|
555 | { |
---|
556 | M[i1+(j0+j1)*mu,i0+j0*mu]=leadcoef(p); |
---|
557 | } |
---|
558 | p=p-lead(p); |
---|
559 | } |
---|
560 | } |
---|
561 | } |
---|
562 | for(i0=mu;i0>=1;i0--) |
---|
563 | { |
---|
564 | for(j0=N-1;j0>=0;j0--) |
---|
565 | { |
---|
566 | M[i0+j0*mu,i0+j0*mu]=M[i0+j0*mu,i0+j0*mu]+j0; |
---|
567 | } |
---|
568 | } |
---|
569 | |
---|
570 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
571 | "//gaussman::vfiltration: compute eigenvalues eA of A"); |
---|
572 | ideal eA=jordan(A,-1)[1]; |
---|
573 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfiltration: eA="+string(eA)); |
---|
574 | |
---|
575 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
576 | "//gaussman::vfiltration: compute eigenvalues eM of M"); |
---|
577 | ideal eM; |
---|
578 | k=0; |
---|
579 | intvec u; |
---|
580 | for(i=N;i>=1;i--) |
---|
581 | { |
---|
582 | u[i]=1; |
---|
583 | } |
---|
584 | i0=1; |
---|
585 | while(u[N]<=ncols(eA)) |
---|
586 | { |
---|
587 | for(i,i1=i0+1,i0;i<=N;i++) |
---|
588 | { |
---|
589 | if(eA[u[i]]+i<eA[u[i1]]+i1) |
---|
590 | { |
---|
591 | i1=i; |
---|
592 | } |
---|
593 | } |
---|
594 | k++; |
---|
595 | eM[k]=eA[u[i1]]+i1-1; |
---|
596 | u[i1]=u[i1]+1; |
---|
597 | if(u[i1]>ncols(eA)) |
---|
598 | { |
---|
599 | i0=i1+1; |
---|
600 | } |
---|
601 | } |
---|
602 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfiltration: eM="+string(eM)); |
---|
603 | |
---|
604 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
605 | "//gaussman::vfiltration: compute V-filtration on H0/H1"); |
---|
606 | ideal s; |
---|
607 | k=0; |
---|
608 | list V; |
---|
609 | matrix Me; |
---|
610 | V[ncols(eM)+1]=std(V1); |
---|
611 | intvec d; |
---|
612 | if(mode==0) |
---|
613 | { |
---|
614 | for(i=ncols(eM);number(eM[i])-1>number(n-1)/2;i--) |
---|
615 | { |
---|
616 | Me=freemodule(mu*N); |
---|
617 | for(i0=n;i0>=0;i0--) // Potenzen von Matrizen? |
---|
618 | { |
---|
619 | Me=Me*(M-eM[i]); |
---|
620 | } |
---|
621 | |
---|
622 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
623 | "//gaussman::vfiltration: compute V["+string(i)+"]"); |
---|
624 | V1=module(V1)+syz(Me); |
---|
625 | V[i]=std(intersect(V1,V0)); |
---|
626 | |
---|
627 | if(size(V[i])>size(V[i+1])) |
---|
628 | { |
---|
629 | k++; |
---|
630 | s[k]=eM[i]-1; |
---|
631 | d[k]=size(V[i])-size(V[i+1]); |
---|
632 | } |
---|
633 | } |
---|
634 | |
---|
635 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
636 | "//gaussman::vfiltration: symmetry index found"); |
---|
637 | j=k; |
---|
638 | if(number(eM[i])-1==number(n-1)/2) |
---|
639 | { |
---|
640 | Me=freemodule(mu*N); |
---|
641 | for(i0=n;i0>=0;i0--) // Potenzen von Matrizen? |
---|
642 | { |
---|
643 | Me=Me*(M-eM[i]); |
---|
644 | } |
---|
645 | |
---|
646 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
647 | "//gaussman::vfiltration: compute V["+string(i)+"]"); |
---|
648 | V1=module(V1)+syz(Me); |
---|
649 | V[i]=std(intersect(V1,V0)); |
---|
650 | |
---|
651 | if(size(V[i])>size(V[i+1])) |
---|
652 | { |
---|
653 | k++; |
---|
654 | s[k]=eM[i]-1; |
---|
655 | d[k]=size(V[i])-size(V[i+1]); |
---|
656 | } |
---|
657 | } |
---|
658 | |
---|
659 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfiltration: apply symmetry"); |
---|
660 | while(j>=1) |
---|
661 | { |
---|
662 | k++; |
---|
663 | s[k]=s[j]; |
---|
664 | s[j]=n-1-s[k]; |
---|
665 | d[k]=d[j]; |
---|
666 | j--; |
---|
667 | } |
---|
668 | |
---|
669 | return(list(s,d)); |
---|
670 | } |
---|
671 | else |
---|
672 | { |
---|
673 | list v; |
---|
674 | j=-1; |
---|
675 | for(i=ncols(eM);i>=1;i--) |
---|
676 | { |
---|
677 | Me=freemodule(mu*N); |
---|
678 | for(i0=n;i0>=0;i0--) // Potenzen von Matrizen? |
---|
679 | { |
---|
680 | Me=Me*(M-eM[i]); |
---|
681 | } |
---|
682 | |
---|
683 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
684 | "//gaussman::vfiltration: compute V["+string(i)+"]"); |
---|
685 | V1=module(V1)+syz(Me); |
---|
686 | V[i]=std(intersect(V1,V0)); |
---|
687 | |
---|
688 | if(size(V[i])>size(V[i+1])) |
---|
689 | { |
---|
690 | if(number(eM[i]-1)>=number(n-1)/2) |
---|
691 | { |
---|
692 | k++; |
---|
693 | s[k]=eM[i]-1; |
---|
694 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
695 | "//gaussman::vfiltration: transform to V0"); |
---|
696 | v[k]=matrix(freemodule(ncols(V[i])),mu,mu*N)*division(V0,V[i])[1]; |
---|
697 | } |
---|
698 | else |
---|
699 | { |
---|
700 | if(j<0) |
---|
701 | { |
---|
702 | if(s[k]==number(n-1)/2) |
---|
703 | { |
---|
704 | j=k-1; |
---|
705 | } |
---|
706 | else |
---|
707 | { |
---|
708 | j=k; |
---|
709 | } |
---|
710 | } |
---|
711 | k++; |
---|
712 | s[k]=s[j]; |
---|
713 | s[j]=eM[i]-1; |
---|
714 | v[k]=v[j]; |
---|
715 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
716 | "//gaussman::vfiltration: transform to V0"); |
---|
717 | v[j]=matrix(freemodule(ncols(V[i])),mu,mu*N)*division(V0,V[i])[1]; |
---|
718 | j--; |
---|
719 | } |
---|
720 | } |
---|
721 | } |
---|
722 | |
---|
723 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
724 | "//gaussman::vfiltration: compute graded parts"); |
---|
725 | option(redSB); |
---|
726 | for(k=1;k<size(v);k++) |
---|
727 | { |
---|
728 | v[k]=std(reduce(v[k],std(v[k+1]))); |
---|
729 | d[k]=size(v[k]); |
---|
730 | } |
---|
731 | v[k]=std(v[k]); |
---|
732 | d[k]=size(v[k]); |
---|
733 | |
---|
734 | return(list(s,d,v,m,sJ)); |
---|
735 | } |
---|
736 | } |
---|
737 | example |
---|
738 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
739 | ring R=0,(x,y),ds; |
---|
740 | poly f=x5+x2y2+y5; |
---|
741 | list l=vfiltration(f); |
---|
742 | print(l); |
---|
743 | } |
---|
744 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
745 | |
---|
746 | proc vfiltjacalg(list l) |
---|
747 | "USAGE: vfiltjacalg(vfiltration(f)); |
---|
748 | ASSUME: local ordering, f isolated singularity at 0 |
---|
749 | RETURN: list l: |
---|
750 | @format |
---|
751 | l[1]: ideal, spectral numbers of the V-filtration on the |
---|
752 | Jacobian algebra in increasing order |
---|
753 | l[2]: intvec |
---|
754 | l[2][i]: int, multiplicity of spectral number l[1][i] |
---|
755 | l[3]: list |
---|
756 | l[3][i]: module, vector space basis of l[1][i]-th graded part |
---|
757 | of the V-filtration on the Jacobian algebra in terms |
---|
758 | of l[4] |
---|
759 | l[4]: ideal, monomial vector space basis of the Jacobian algebra |
---|
760 | l[5]: ideal, standard basis of Jacobian ideal |
---|
761 | @end format |
---|
762 | EXAMPLE: example vfiltjacalg; shows an example |
---|
763 | " |
---|
764 | { |
---|
765 | def s,d,v,m,sJ=l[1..5]; |
---|
766 | int mu=ncols(m); |
---|
767 | |
---|
768 | int i,j,k; |
---|
769 | module V=v[1]; |
---|
770 | for(i=2;i<=size(v);i++) |
---|
771 | { |
---|
772 | V=V,v[i]; |
---|
773 | } |
---|
774 | |
---|
775 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
776 | "//gaussman::vfiltjacalg: compute multiplication in Jacobian algebra"); |
---|
777 | list M; |
---|
778 | for(i=ncols(m);i>=1;i--) |
---|
779 | { |
---|
780 | M[i]=lift(V,coeffs(redNF(m[i]*m,sJ),m)*V); |
---|
781 | } |
---|
782 | |
---|
783 | int i0,j0,i1,j1; |
---|
784 | number r0=number(s[1]-s[ncols(s)]); |
---|
785 | number r1,r2; |
---|
786 | matrix M0; |
---|
787 | module L; |
---|
788 | list v0=freemodule(ncols(m)); |
---|
789 | ideal s0=r0; |
---|
790 | |
---|
791 | while(r0<number(s[ncols(s)]-s[1])) |
---|
792 | { |
---|
793 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
794 | "//gaussman::vfiltjacalg: find next possible index"); |
---|
795 | r1=number(s[ncols(s)]-s[1]); |
---|
796 | for(j=ncols(s);j>=1;j--) |
---|
797 | { |
---|
798 | for(i=ncols(s);i>=1;i--) |
---|
799 | { |
---|
800 | r2=number(s[i]-s[j]); |
---|
801 | if(r2>r0&&r2<r1) |
---|
802 | { |
---|
803 | r1=r2; |
---|
804 | } |
---|
805 | else |
---|
806 | { |
---|
807 | if(r2<=r0) |
---|
808 | { |
---|
809 | i=0; |
---|
810 | } |
---|
811 | } |
---|
812 | } |
---|
813 | } |
---|
814 | r0=r1; |
---|
815 | |
---|
816 | l=ideal(); |
---|
817 | for(k=ncols(m);k>=2;k--) |
---|
818 | { |
---|
819 | l=l+list(ideal()); |
---|
820 | } |
---|
821 | |
---|
822 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
823 | "//gaussman::vfiltjacalg: collect conditions for V["+string(r0)+"]"); |
---|
824 | j=ncols(s); |
---|
825 | j0=mu; |
---|
826 | while(j>=1) |
---|
827 | { |
---|
828 | i0=1; |
---|
829 | i=1; |
---|
830 | while(i<ncols(s)&&s[i]<s[j]+r0) |
---|
831 | { |
---|
832 | i0=i0+d[i]; |
---|
833 | i++; |
---|
834 | } |
---|
835 | if(s[i]<s[j]+r0) |
---|
836 | { |
---|
837 | i0=i0+d[i]; |
---|
838 | i++; |
---|
839 | } |
---|
840 | for(k=1;k<=ncols(m);k++) |
---|
841 | { |
---|
842 | M0=M[k]; |
---|
843 | if(i0>1) |
---|
844 | { |
---|
845 | l[k]=l[k],M0[1..i0-1,j0-d[j]+1..j0]; |
---|
846 | } |
---|
847 | } |
---|
848 | j0=j0-d[j]; |
---|
849 | j--; |
---|
850 | } |
---|
851 | |
---|
852 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
853 | "//gaussman::vfiltjacalg: compose condition matrix"); |
---|
854 | L=transpose(module(l[1])); |
---|
855 | for(k=2;k<=ncols(m);k++) |
---|
856 | { |
---|
857 | L=L,transpose(module(l[k])); |
---|
858 | } |
---|
859 | |
---|
860 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
861 | "//gaussman::vfiltjacalg: compute kernel of condition matrix"); |
---|
862 | v0=v0+list(syz(L)); |
---|
863 | s0=s0,r0; |
---|
864 | } |
---|
865 | |
---|
866 | dbprint(printlevel-voice+2,"//gaussman::vfiltjacalg: compute graded parts"); |
---|
867 | option(redSB); |
---|
868 | for(i=1;i<size(v0);i++) |
---|
869 | { |
---|
870 | v0[i+1]=std(v0[i+1]); |
---|
871 | v0[i]=std(reduce(v0[i],v0[i+1])); |
---|
872 | } |
---|
873 | |
---|
874 | dbprint(printlevel-voice+2, |
---|
875 | "//gaussman::vfiltjacalg: remove trivial graded parts"); |
---|
876 | i=1; |
---|
877 | while(size(v0[i])==0) |
---|
878 | { |
---|
879 | i++; |
---|
880 | } |
---|
881 | list v1=v0[i]; |
---|
882 | intvec d1=size(v0[i]); |
---|
883 | ideal s1=s0[i]; |
---|
884 | i++; |
---|
885 | while(i<=size(v0)) |
---|
886 | { |
---|
887 | if(size(v0[i])>0) |
---|
888 | { |
---|
889 | v1=v1+list(v0[i]); |
---|
890 | d1=d1,size(v0[i]); |
---|
891 | s1=s1,s0[i]; |
---|
892 | } |
---|
893 | i++; |
---|
894 | } |
---|
895 | return(list(s1,d1,v1,m)); |
---|
896 | } |
---|
897 | example |
---|
898 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
899 | ring R=0,(x,y),ds; |
---|
900 | poly f=x5+x2y2+y5; |
---|
901 | vfiltjacalg(vfiltration(f)); |
---|
902 | } |
---|
903 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
904 | |
---|
905 | proc gamma(list l) |
---|
906 | "USAGE: gamma(vfiltration(f,0)); poly f |
---|
907 | ASSUME: local ordering, f isolated singularity at 0 |
---|
908 | RETURN: number g : Hertling's gamma invariant |
---|
909 | EXAMPLE: example gamma; shows an example |
---|
910 | " |
---|
911 | { |
---|
912 | ideal s=l[1]; |
---|
913 | intvec d=l[2]; |
---|
914 | int n=nvars(basering)-1; |
---|
915 | number g=0; |
---|
916 | int i,j; |
---|
917 | for(i=1;i<=ncols(s);i++) |
---|
918 | { |
---|
919 | for(j=1;j<=d[i];j++) |
---|
920 | { |
---|
921 | g=g+(number(s[i])-number(n-1)/2)^2; |
---|
922 | } |
---|
923 | } |
---|
924 | g=-g/4+sum(d)*number(s[ncols(s)]-s[1])/48; |
---|
925 | return(g); |
---|
926 | } |
---|
927 | example |
---|
928 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
929 | ring R=0,(x,y),ds; |
---|
930 | poly f=x5+x2y2+y5; |
---|
931 | gamma(vfiltration(f,0)); |
---|
932 | } |
---|
933 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
934 | |
---|
935 | proc gamma4(list l) |
---|
936 | "USAGE: gamma4(vfiltration(f,0)); poly f |
---|
937 | ASSUME: local ordering, f isolated singularity at 0 |
---|
938 | RETURN: number g4 : Hertling's gamma4 invariant |
---|
939 | EXAMPLE: example gamma4; shows an example |
---|
940 | " |
---|
941 | { |
---|
942 | ideal s=l[1]; |
---|
943 | intvec d=l[2]; |
---|
944 | int n=nvars(basering)-1; |
---|
945 | number g4=0; |
---|
946 | int i,j; |
---|
947 | for(i=1;i<=ncols(s);i++) |
---|
948 | { |
---|
949 | for(j=1;j<=d[i];j++) |
---|
950 | { |
---|
951 | g4=g4+(number(s[i])-number(n-1)/2)^4; |
---|
952 | } |
---|
953 | } |
---|
954 | g4=g4-(number(s[ncols(s)]-s[1])/12-1/30)* |
---|
955 | (sum(d)*number(s[ncols(s)]-s[1])/4-24*gamma(l)); |
---|
956 | return(g4); |
---|
957 | } |
---|
958 | example |
---|
959 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
960 | ring R=0,(x,y),ds; |
---|
961 | poly f=x5+x2y2+y5; |
---|
962 | gamma4(vfiltration(f,0)); |
---|
963 | } |
---|
964 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
965 | |
---|
966 | proc tst_gaussm(poly f) |
---|
967 | { |
---|
968 | echo=2; |
---|
969 | basering; |
---|
970 | f; |
---|
971 | print(monodromy(f)); |
---|
972 | list l=vfiltration(f); |
---|
973 | l; |
---|
974 | vfiltjacalg(l); |
---|
975 | gamma(l); |
---|
976 | gamma4(l); |
---|
977 | } |
---|
978 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|