[fab80c2] | 1 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 2 | |
---|
[341696] | 3 | version="$Id$"; |
---|
[fab80c2] | 4 | category="Commutative Algebra"; |
---|
| 5 | |
---|
| 6 | info=" |
---|
| 7 | LIBRARY: mprimdec.lib PROCEDURES FOR PRIMARY DECOMPOSITION OF MODULES |
---|
| 8 | AUTHORS: Alexander Dreyer, dreyer@mathematik.uni-kl.de; adreyer@web.de |
---|
| 9 | |
---|
[66d68c] | 10 | OVERVIEW: |
---|
| 11 | Algorithms for primary decomposition for modules based on |
---|
| 12 | the algorithms of Gianni, Trager and Zacharias and |
---|
| 13 | Shimoyama and Yokoyama (generalization of the latter |
---|
| 14 | suggested by Hans-Gert Graebe, Leipzig ) |
---|
| 15 | using elments of primdec.lib |
---|
| 16 | |
---|
[fab80c2] | 17 | REMARK: |
---|
| 18 | These procedures are implemented to be used in characteristic 0. |
---|
| 19 | @*They also work in positive characteristic >> 0. |
---|
| 20 | @*In small characteristic and for algebraic extensions, the |
---|
[53ec64] | 21 | procedures via Gianni, Trager, Zacharias may not terminate. |
---|
[fab80c2] | 22 | |
---|
| 23 | PROCEDURES: |
---|
| 24 | separator(l); computes a list of separators of prime ideals |
---|
| 25 | PrimdecA(N[,i]); (not necessarily minimal) primary decomposition |
---|
| 26 | via Shimoyama/Yokoyama (suggested by Graebe) |
---|
| 27 | PrimdecB(N,p); (not necessarily minimal) primary decomposition |
---|
| 28 | for pseudo-primary ideals |
---|
| 29 | modDec(N[,i]); minimal primary decomposition |
---|
| 30 | via Shimoyama/Yokoyama (suggested by Graebe) |
---|
| 31 | zeroMod(N[,check]); minimal zero-dimensional primary decomposition |
---|
| 32 | via Gianni, Trager and Zacharias |
---|
| 33 | GTZmod(N[,check]); minimal primary decomposition |
---|
| 34 | via Gianni, Trager and Zacharias |
---|
| 35 | dec1var(N[,check[,ann]]); primary decomposition for one variable |
---|
| 36 | annil(N); the annihilator of M/N in the basering |
---|
| 37 | splitting(N[,check[,ann]]); splitting to simpler modules |
---|
| 38 | primTest(i[,p]); tests whether i is prime or homogeneous |
---|
| 39 | preComp(N,check[,ann]); enhanced Version of splitting |
---|
| 40 | indSet(i); lists with varstrings of(in)dependend variables |
---|
| 41 | GTZopt(N[,check[,ann]]); a faster version of GTZmod |
---|
| 42 | zeroOpt(N[,check[,ann]]); a faster version of zeroMod |
---|
| 43 | "; |
---|
| 44 | |
---|
| 45 | LIB "primdec.lib"; |
---|
| 46 | LIB "ring.lib"; |
---|
| 47 | |
---|
| 48 | |
---|
| 49 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 50 | // separator(l) |
---|
| 51 | // computes a list of separators for a list of prime ideals |
---|
| 52 | // it in a generalization of parts of pseudo_prim_dec_i from primdec.lib |
---|
| 53 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 54 | |
---|
| 55 | proc separator (list @L) |
---|
| 56 | "USAGE: separator(l); list l of prime ideals |
---|
| 57 | RETURN: list sepList; |
---|
| 58 | a list of separators of the prime ideals in l, |
---|
| 59 | i.e. polynomials p_ij, s.th. p_ij is in l[j], |
---|
| 60 | for all l[j] not contained in l[i] |
---|
| 61 | but p_ij is not in l[i] |
---|
| 62 | EXAMPLE: example separator; shows an example |
---|
| 63 | " |
---|
| 64 | |
---|
| 65 | { |
---|
| 66 | ideal p_ij; // generating p_ij in @L[@j], not in @L[@i] |
---|
| 67 | list f_i; // generating f_i NOT in @L[@i], but in all @L[@j] |
---|
| 68 | int @i,@j,@k; |
---|
| 69 | int sizeL=size(@L); |
---|
| 70 | poly @tmp; |
---|
| 71 | |
---|
| 72 | for(@i=1;@i<=sizeL;@i++) |
---|
| 73 | { |
---|
| 74 | p_ij=0; |
---|
| 75 | |
---|
| 76 | @L[@i]=std(@L[@i]); |
---|
| 77 | for(@j=1;@j<=sizeL;@j++) // compute the separator sep_i |
---|
| 78 | // of the i-th component |
---|
| 79 | // f_i separates {Pj not incl in Pi} from Pi |
---|
| 80 | { |
---|
| 81 | if (@i!=@j) // searching for g: not in @L[@i], but @L[@j] |
---|
| 82 | { |
---|
| 83 | for(@k=1;@k<=ncols(@L[@j]);@k++) |
---|
| 84 | { |
---|
| 85 | if(NF(@L[@j][@k],@L[@i],1)!=0) |
---|
| 86 | { |
---|
| 87 | p_ij=p_ij+@L[@j][@k]; |
---|
| 88 | break; |
---|
| 89 | } |
---|
| 90 | } |
---|
| 91 | } |
---|
| 92 | } |
---|
| 93 | @tmp=lcm(p_ij); |
---|
| 94 | if(@tmp==0) |
---|
| 95 | { |
---|
| 96 | @tmp=1; |
---|
| 97 | } |
---|
| 98 | f_i=f_i+list(@tmp); |
---|
| 99 | } |
---|
| 100 | return(f_i); |
---|
| 101 | } |
---|
| 102 | example |
---|
| 103 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 104 | ring r=0,(x,y,z),dp; |
---|
| 105 | ideal i=(x2y,xz2,y2z,z3); |
---|
| 106 | list l=minAssGTZ(i); |
---|
| 107 | list sepL=separator(l); |
---|
| 108 | sepL; |
---|
| 109 | } |
---|
| 110 | |
---|
| 111 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 112 | // PrimdecA(N[,i]) |
---|
| 113 | // computes a primary decomposition, not necessarily minimal, |
---|
[53ec64] | 114 | // using a generalization of the algorithm of Shimoyama/Yokoyama, |
---|
[fab80c2] | 115 | // suggested by Hans-Gerd Graebe, Leipzig |
---|
| 116 | // [Hans-Gert Graebe, Minimal Primary Decompostion |
---|
| 117 | // and Factorized Groebner Bases, AAECC 8, 265-278 (1997)] |
---|
| 118 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 119 | |
---|
| 120 | |
---|
| 121 | proc PrimdecA(module @N, list #) |
---|
| 122 | "USAGE: PrimdecA (N[, i]); module N, int i |
---|
| 123 | RETURN: list l |
---|
| 124 | a (not necessarily minimal) primary decomposition of N |
---|
[53ec64] | 125 | computed by a generalized version of the algorithm of Shimoyama/Yokoyama, |
---|
[fa8122] | 126 | @*if i!=0 is given, the factorizing Groebner is used to compute the |
---|
| 127 | isolated primes |
---|
[fab80c2] | 128 | EXAMPLE: example PrimdecA; shows an example |
---|
| 129 | " |
---|
| 130 | |
---|
| 131 | { |
---|
| 132 | module @M=freemodule(nrows(@N)); // @M=basering^k |
---|
| 133 | ideal ann=annil(@N); // the annihilator of @N |
---|
| 134 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 135 | // in the trivial case we avoid to compute anything |
---|
| 136 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 137 | if (ann[1]==1) |
---|
| 138 | { |
---|
| 139 | return(list()); |
---|
| 140 | } |
---|
| 141 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 142 | // Computation of the Associated Primes |
---|
| 143 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 144 | if (ann[1]==0) |
---|
| 145 | { |
---|
| 146 | list pr=list(ideal(0)); |
---|
| 147 | } |
---|
| 148 | else |
---|
| 149 | { |
---|
[409020] | 150 | if( (size(#)>0) ){ |
---|
[50cbdc] | 151 | list pr = minAssChar(ann); // causes message "/ ** redefining @res **" |
---|
[409020] | 152 | } |
---|
| 153 | else{ |
---|
[50cbdc] | 154 | list pr = minAssGTZ(ann); |
---|
[409020] | 155 | } |
---|
[fab80c2] | 156 | } |
---|
[409020] | 157 | |
---|
[fab80c2] | 158 | list sp, pprimary; // the separators and the pseudo-primary modules |
---|
| 159 | int @i; |
---|
| 160 | ideal rest; // for the computation of the remaining components |
---|
| 161 | sp=separator(pr); |
---|
| 162 | int sizeSp=size(sp); // the number of separators |
---|
| 163 | |
---|
| 164 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 165 | // Computation of the pseudo-primary modules |
---|
| 166 | // and an ideal rest s.th. @N is the intersection of the |
---|
| 167 | // pseudo-primary modules and @N+rest*@M |
---|
| 168 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 169 | for(@i=1;@i<=sizeSp;@i++) |
---|
| 170 | { |
---|
| 171 | pprimary=pprimary+list(sat(@N,sp[@i])); |
---|
| 172 | rest=rest+sp[@i]^pprimary[@i][2]; |
---|
| 173 | } |
---|
| 174 | list result; // a primary decomposition of @N |
---|
| 175 | |
---|
| 176 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 177 | // Extraction of the pseudo-primary modules |
---|
| 178 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 179 | for (@i=1;@i<=size(pprimary);@i++) |
---|
| 180 | { |
---|
| 181 | result=result+PrimdecB(pprimary[@i][1],pr[@i]); |
---|
| 182 | } |
---|
| 183 | |
---|
| 184 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 185 | // Computation of remaining components |
---|
| 186 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 187 | result=result+PrimdecA(@N+rest*@M); |
---|
| 188 | |
---|
| 189 | return(result); |
---|
| 190 | } |
---|
| 191 | example |
---|
| 192 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 193 | ring r=0,(x,y,z),dp; |
---|
| 194 | module N=x*gen(1)+ y*gen(2), |
---|
| 195 | x*gen(1)-x2*gen(2); |
---|
| 196 | list l=PrimdecA(N); |
---|
| 197 | l; |
---|
| 198 | } |
---|
| 199 | |
---|
| 200 | |
---|
| 201 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 202 | // PrimdecB(N, p) |
---|
| 203 | // computes a primary decomposition, not necessarily minimal, |
---|
| 204 | // of a pseudo-primary module N with isolated prime p |
---|
| 205 | // it is based on extraction in primdec.lib |
---|
| 206 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 207 | |
---|
| 208 | proc PrimdecB(module @N, ideal isoPrim) |
---|
| 209 | "USAGE: PrimdecB (N, p); pseudo-primary module N, isolated prime ideal p |
---|
| 210 | RETURN: list l |
---|
| 211 | a (not necessarily minimal) primary decomposition of N |
---|
| 212 | EXAMPLE: example PrimdecB; shows an example |
---|
| 213 | " |
---|
| 214 | |
---|
| 215 | { |
---|
| 216 | module @M=freemodule(nrows(@N)); // @M=basering^k |
---|
| 217 | ideal ann=annil(@N); // the annihilator of @N |
---|
| 218 | |
---|
| 219 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 220 | // the not-that-trivial case of ann==0 |
---|
| 221 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 222 | if(size(ann)==0) |
---|
| 223 | { |
---|
| 224 | def BAS=basering; |
---|
| 225 | execute("ring Rloc=("+charstr(basering)+","+varstr(basering)+"),dummy,("+ordstr(basering)+");"); |
---|
| 226 | module @N=imap(BAS, @N); |
---|
| 227 | poly @q=prepareSat(@N); |
---|
| 228 | |
---|
| 229 | setring BAS; |
---|
| 230 | poly @q=imap(Rloc, @q); |
---|
| 231 | list satu=sat(@N,@q); |
---|
| 232 | if(satu[2]==0) |
---|
| 233 | { |
---|
| 234 | return(list(list(@N,ideal(0)))); |
---|
| 235 | } |
---|
| 236 | else |
---|
| 237 | { |
---|
| 238 | return(list(list(satu[1],ideal(0)))+ PrimdecA(@N+(@q^satu[2])*@M)); |
---|
| 239 | } |
---|
| 240 | } |
---|
| 241 | |
---|
| 242 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 243 | // Extraction of the isolated component @N' and |
---|
| 244 | // searching for a polynomial @f of minimal degree |
---|
| 245 | // s.th. @N=intersect(@N', @N+@f*@M) |
---|
| 246 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 247 | list indSets=indepSet(ann,0); |
---|
| 248 | poly @f; |
---|
| 249 | if(size(indSets)!=0) //check, whether dim isoPrim !=0 |
---|
| 250 | { |
---|
| 251 | intvec indVec; // a maximal independent set of variables |
---|
| 252 | // modulo isoPrim |
---|
| 253 | string @U; // the independent variables |
---|
| 254 | string @A; // the dependent variables |
---|
| 255 | int @j,@k; |
---|
| 256 | int szA; // the size of @A |
---|
| 257 | int degf; |
---|
| 258 | ideal @g; |
---|
| 259 | list polys; |
---|
| 260 | int sizePolys; |
---|
| 261 | list newPoly; |
---|
| 262 | |
---|
| 263 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 264 | // the preparation of the quotient ring |
---|
| 265 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 266 | def BAS=basering; |
---|
| 267 | for (@k=1;@k<=size(indSets);@k++) |
---|
| 268 | { |
---|
| 269 | indVec=indSets[@k]; |
---|
| 270 | for (@j=1;@j<=nvars(BAS);@j++) |
---|
| 271 | { |
---|
| 272 | if (indVec[@j]==1) |
---|
| 273 | { |
---|
| 274 | @U=@U+varstr(@j)+","; |
---|
| 275 | } |
---|
| 276 | else |
---|
| 277 | { |
---|
| 278 | @A=@A+varstr(@j)+","; |
---|
| 279 | szA++; |
---|
| 280 | } |
---|
| 281 | } |
---|
| 282 | |
---|
| 283 | @U[size(@U)]=")"; // we compute the extractor (w.r.t. @U) |
---|
| 284 | execute("ring RAU="+charstr(basering)+",("+@A+@U+",(C,dp("+string(szA)+"),dp);"); |
---|
| 285 | module @N=std(imap(BAS,@N)); |
---|
| 286 | // this is also a standard basis in (R[U])[A] |
---|
| 287 | @A[size(@A)]=")"; |
---|
| 288 | execute("ring Rloc=("+charstr(basering)+","+@U+",("+@A+",(C,dp);"); |
---|
| 289 | ideal @N=imap(RAU,@N); |
---|
| 290 | ideal @h; |
---|
| 291 | for(@j=ncols(@N);@j>=1;@j--) |
---|
| 292 | { |
---|
| 293 | @h[@j]=leadcoef(@N[@j]); // consider I in (R(U))[A] |
---|
| 294 | } |
---|
| 295 | setring BAS; |
---|
| 296 | @g=imap(Rloc,@h); |
---|
| 297 | kill RAU,Rloc; |
---|
| 298 | @U=""; |
---|
| 299 | @A=""; |
---|
| 300 | szA=0; |
---|
| 301 | @f=lcm(@g); |
---|
| 302 | newPoly[1]=@f; |
---|
| 303 | polys=polys+newPoly; |
---|
| 304 | newPoly=list(); |
---|
| 305 | } |
---|
| 306 | @f=polys[1]; |
---|
| 307 | degf=deg(@f); |
---|
| 308 | sizePolys=size(polys); |
---|
| 309 | for (@k=2;@k<=sizePolys;@k++) |
---|
| 310 | { |
---|
| 311 | if (deg(polys[@k])<degf) |
---|
| 312 | { |
---|
[0610f0e] | 313 | //Waehlt das poly mit dem geringsten Grad. |
---|
[fab80c2] | 314 | @f=polys[@k]; |
---|
| 315 | degf=deg(@f); |
---|
| 316 | } |
---|
| 317 | } |
---|
| 318 | } |
---|
| 319 | else |
---|
| 320 | { |
---|
| 321 | @f=1; |
---|
| 322 | } |
---|
| 323 | if(@f!=1) |
---|
| 324 | { |
---|
| 325 | list satu = minSatMod(@N,@f); |
---|
| 326 | return(list(list(satu[1],isoPrim))+ PrimdecA(@N+satu[2]*@M)); |
---|
| 327 | // list satu = sat(@N,@f); |
---|
| 328 | //return(list(list(satu[1],isoPrim))+ PrimdecA(@N+@f^satu[2]*@M)); |
---|
| 329 | } |
---|
| 330 | else |
---|
| 331 | { |
---|
| 332 | return(list(list(@N,isoPrim))); |
---|
| 333 | } |
---|
| 334 | } |
---|
| 335 | example |
---|
| 336 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 337 | ring r=0,(x,y,z),dp; |
---|
| 338 | module N=y*gen(1),y2*gen(2),yz*gen(2),yx*gen(2); |
---|
| 339 | ideal p=y; |
---|
| 340 | list l=PrimdecB(N,p); |
---|
| 341 | l; |
---|
| 342 | } |
---|
| 343 | |
---|
| 344 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 345 | // modDec(N[,i]) |
---|
| 346 | // extracts a minimal primary decomposition from the |
---|
| 347 | // primary decomposition computed by PrimdecA(N[, i]) |
---|
| 348 | // using a Minimality Test suggested by Hans-Gerd Graebe, Leipzig |
---|
| 349 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 350 | |
---|
| 351 | proc modDec(module @N, list #) |
---|
| 352 | "USAGE: modDec (N[, i]); module N, int i |
---|
| 353 | RETURN: list l |
---|
| 354 | a minimal primary decomposition of N |
---|
[53ec64] | 355 | computed by an generalized version of the algorithm of Shimoyama/Yokoyama, |
---|
| 356 | @*if i=1 is given, the factorizing Groebner basis algorithm is used internally. |
---|
[fab80c2] | 357 | EXAMPLE: example modDec; shows an example |
---|
| 358 | " |
---|
| 359 | { |
---|
| 360 | list prim = PrimdecA(@N, #); |
---|
| 361 | int @i,@j,@k,@l; |
---|
| 362 | int sizePrim=size(prim); |
---|
| 363 | |
---|
| 364 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 365 | // the trivial case |
---|
| 366 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 367 | if (sizePrim==0) |
---|
| 368 | { |
---|
| 369 | return(list(list(@N, ideal(1)))); |
---|
| 370 | } |
---|
| 371 | |
---|
| 372 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 373 | // collect primary components with the same associated prime |
---|
| 374 | // and substitute them by their intersection |
---|
| 375 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 376 | for(@i=1;@i<=sizePrim;@i++) |
---|
| 377 | { |
---|
| 378 | for(@j=@i+1;@j<=sizePrim;@j++) |
---|
| 379 | { |
---|
| 380 | if (@j!=@i) |
---|
| 381 | { |
---|
[409020] | 382 | if (modulesEqual(prim[@i][2],prim[@j-@l][2])==1) |
---|
[fab80c2] | 383 | { |
---|
| 384 | prim[@i][1]=intersect(prim[@i][1],prim[@j-@l][1]); |
---|
| 385 | prim=delete(prim,@j-@l); |
---|
| 386 | @l++; |
---|
| 387 | sizePrim--; |
---|
| 388 | } |
---|
| 389 | } |
---|
| 390 | } |
---|
| 391 | } |
---|
| 392 | |
---|
| 393 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 394 | // minimality test suggested by Graebe: |
---|
| 395 | // if f separates the prime p from the primes not contained in p, |
---|
| 396 | // then p is not in Ass(M/N) <=> sat(N,f)=sat(sat(N,f),p) |
---|
| 397 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 398 | list tempList; |
---|
| 399 | for(@i=1;@i<=sizePrim;@i++) |
---|
| 400 | { |
---|
| 401 | tempList=tempList+list(prim[@i][2]); |
---|
| 402 | } |
---|
| 403 | list sepPrimes=separator(tempList); // the separators of the primes |
---|
| 404 | tempList=list(); |
---|
| 405 | for(@i=1;@i<=sizePrim;@i++) // compute sat(N,f), for all separators f |
---|
| 406 | { |
---|
| 407 | tempList=tempList+list(sat(@N,sepPrimes[@i])[1]); |
---|
| 408 | } |
---|
| 409 | module testMod; |
---|
| 410 | @k=0; |
---|
| 411 | for(@i=1;@i<=sizePrim;@i++) |
---|
| 412 | { |
---|
| 413 | testMod=sat(tempList[@i],prim[@i-@k][2])[1]; // computes sat(sat(N,f),p) |
---|
| 414 | if (size(NF(testMod,std(tempList[@i]),1))==0) // tests if equal to sat(N,f) |
---|
| 415 | { |
---|
| 416 | prim=delete(prim,@i-@k); // if yes: the component |
---|
| 417 | @k++; // is superfluous |
---|
| 418 | } |
---|
| 419 | } |
---|
| 420 | |
---|
| 421 | return(prim); |
---|
| 422 | } |
---|
| 423 | example |
---|
| 424 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 425 | ring r=0,(x,y,z),dp; |
---|
| 426 | module N=x*gen(1)+ y*gen(2), |
---|
| 427 | x*gen(1)-x2*gen(2); |
---|
| 428 | list l=modDec(N); |
---|
| 429 | l; |
---|
| 430 | } |
---|
| 431 | |
---|
| 432 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 433 | // zeroMod (N[, check]) |
---|
| 434 | // computes a minimal primary decomposition of a zero-dimensional Module |
---|
| 435 | // using a generalized version of the algorithm of |
---|
| 436 | // Gianni, Trager and Zacharias, suggested by Alexander Dreyer |
---|
| 437 | // [Diploma Thesis, University of Kaiserslautern, 2001] |
---|
| 438 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 439 | |
---|
| 440 | proc zeroMod (module @N, list #) |
---|
| 441 | "USAGE: zeroMod (N[, check]); zero-dimensional module N[, module check] |
---|
| 442 | RETURN: list l |
---|
| 443 | the minimal primary decomposition of a zero-dimensional module N, |
---|
[53ec64] | 444 | computed by a generalized version of the algorithm of Gianni, Trager and Zacharias |
---|
[fa8122] | 445 | NOTE: if the parameter check is given, only components not containing check are computed |
---|
[fab80c2] | 446 | EXAMPLE: example zeroMod; shows an example |
---|
| 447 | " |
---|
| 448 | { |
---|
| 449 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 450 | // the module check is needed to compute a minimal decomposition |
---|
| 451 | // components containing check are ignored |
---|
| 452 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 453 | if (size(#)>0) |
---|
| 454 | { |
---|
| 455 | module check=#[1]; |
---|
| 456 | if (size(NF(check,std(@N),1))==0) |
---|
| 457 | { |
---|
| 458 | return(list()); |
---|
| 459 | } |
---|
| 460 | } |
---|
| 461 | else |
---|
| 462 | { |
---|
| 463 | module check=freemodule(nrows(@N)); |
---|
| 464 | } |
---|
| 465 | |
---|
| 466 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 467 | // the ordering is changed to lex |
---|
| 468 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 469 | def BAS = basering; |
---|
[daa83b] | 470 | def @R=changeord("lp"); |
---|
| 471 | setring @R; |
---|
[fab80c2] | 472 | module @N=fetch(BAS,@N); |
---|
| 473 | int nVar=nvars(@R); |
---|
| 474 | module @M=freemodule(nrows(@N)); // @M=basering^k |
---|
| 475 | ideal ann=std(quotient(@N,@M)); // the annihilator of @M/@N |
---|
| 476 | int @k; |
---|
| 477 | list result, rest; |
---|
| 478 | ideal primary, prim; |
---|
| 479 | module primMod; |
---|
| 480 | |
---|
| 481 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 482 | // the random coordnate change and its inverse |
---|
| 483 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 484 | option(redSB); |
---|
| 485 | ideal prepMap=maxideal(1); |
---|
| 486 | prepMap[nVar]=0; |
---|
| 487 | prepMap[nVar]=(random(100,1,nVar)*transpose(prepMap))[1,1]+var(nVar); |
---|
| 488 | map phi=@R,prepMap; |
---|
| 489 | prepMap[nVar]=2*var(nVar)-prepMap[nVar]; |
---|
| 490 | map invphi=@R,prepMap; |
---|
| 491 | |
---|
| 492 | ideal @j=std(phi(ann)); |
---|
| 493 | |
---|
| 494 | list fac=factorize(@j[1],2); // factorization of the 1st elt. in Ann(@N) |
---|
| 495 | |
---|
| 496 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 497 | // Case: 1st element irreducible |
---|
| 498 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 499 | if(size(fac[2])==1) |
---|
| 500 | { |
---|
| 501 | prim=primaryTest(@j,fac[1][1]); |
---|
| 502 | prim=invphi(prim); |
---|
| 503 | setring BAS; |
---|
| 504 | @N=std(@N); |
---|
| 505 | ideal prim=std(imap(@R,prim)); |
---|
| 506 | kill @R; |
---|
| 507 | if(prim!=0) |
---|
| 508 | { |
---|
| 509 | return(list(list(@N,prim))); |
---|
| 510 | } |
---|
| 511 | else |
---|
| 512 | { |
---|
| 513 | return(zeroMod(@N,check)); |
---|
| 514 | } |
---|
| 515 | } |
---|
| 516 | 2; |
---|
| 517 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 518 | // Computation of the - hopefully primary - modules |
---|
| 519 | // their annihilators and associated primes |
---|
| 520 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 521 | poly @p, @h; |
---|
| 522 | module check; |
---|
| 523 | for (@k=1;@k<=size(fac[1]);@k++) |
---|
| 524 | { |
---|
| 525 | @p=fac[1][@k]^fac[2][@k]; |
---|
| 526 | @h=@j[1]/@p; |
---|
| 527 | primMod=std(quotient(phi(@N),@h)); |
---|
| 528 | check=imap(BAS,check); |
---|
| 529 | check=phi(check); |
---|
| 530 | if (size(NF(check,primMod,1))>0) |
---|
| 531 | { |
---|
| 532 | primary=std(@j+@p); |
---|
| 533 | // test if the modules were primary and in general position |
---|
| 534 | prim=primaryTest(primary,fac[1][@k]); |
---|
| 535 | if (prim==0) |
---|
| 536 | { |
---|
| 537 | rest[size(rest)+1]=invphi(primMod); |
---|
| 538 | } |
---|
| 539 | else |
---|
| 540 | { |
---|
| 541 | result[size(result)+1]=list(std(invphi(primMod)),std(invphi(prim))); |
---|
| 542 | } |
---|
| 543 | |
---|
| 544 | } |
---|
| 545 | } |
---|
| 546 | |
---|
| 547 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 548 | // the bad cases |
---|
| 549 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 550 | |
---|
| 551 | for (@k=1; @k<=size(rest);@k++) |
---|
| 552 | { |
---|
| 553 | result = result+zeroMod(rest[@k],invphi(check)); |
---|
| 554 | } |
---|
| 555 | |
---|
| 556 | option(noredSB); |
---|
| 557 | setring BAS; |
---|
| 558 | list result=imap(@R, result); |
---|
| 559 | kill @R; |
---|
| 560 | return(result); |
---|
| 561 | } |
---|
| 562 | example |
---|
| 563 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 564 | ring r=0,z,dp; |
---|
| 565 | module N=z*gen(1),(z-1)*gen(2),(z+1)*gen(3); |
---|
| 566 | list l=zeroMod(N); |
---|
| 567 | l; |
---|
| 568 | } |
---|
| 569 | |
---|
| 570 | |
---|
| 571 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 572 | // GTZmod (N[, check]) |
---|
| 573 | // computes a minimal primary decomposition of N |
---|
| 574 | // using a generalized version of the algorithm of |
---|
| 575 | // Gianni, Trager and Zacharias, suggested by Alexander Dreyer |
---|
| 576 | // [Diploma Thesis, University of Kaiserslautern, Germany, 2001] |
---|
| 577 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 578 | |
---|
| 579 | proc GTZmod (module @N, list #) |
---|
| 580 | "USAGE: GTZmod (N[, check]); module N[, module check] |
---|
| 581 | RETURN: list l |
---|
| 582 | the minimal primary decomposition of the module N, |
---|
[53ec64] | 583 | computed by a generalized version of the algorithm of Gianni, Trager and Zacharias |
---|
[fa8122] | 584 | NOTE: if the parameter check is given, only components not containing check are computed |
---|
[fab80c2] | 585 | EXAMPLE: example GTZmod; shows an example |
---|
| 586 | " |
---|
| 587 | { |
---|
| 588 | if (size(@N)==0) |
---|
| 589 | { |
---|
| 590 | return(list(@N,ideal(0))); |
---|
| 591 | } |
---|
| 592 | |
---|
| 593 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 594 | // the module check is needed to compute a minimal decomposition |
---|
| 595 | // components containing check are ignored |
---|
| 596 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 597 | if (size(#)>0) |
---|
| 598 | { |
---|
| 599 | module check=#[1]; |
---|
| 600 | if (size(NF(check,std(@N),1))==0) |
---|
| 601 | { |
---|
| 602 | return(list()); |
---|
| 603 | } |
---|
| 604 | } |
---|
| 605 | else |
---|
| 606 | { |
---|
| 607 | module check= freemodule(nrows(@N)); |
---|
| 608 | } |
---|
| 609 | |
---|
| 610 | module @M=freemodule(nrows(@N)); |
---|
| 611 | def BAS = basering; |
---|
| 612 | int @j; |
---|
| 613 | int nVar=nvars(BAS); |
---|
| 614 | int @k; |
---|
| 615 | string @U; // the independent variables |
---|
| 616 | string @A; // the dependent variables |
---|
| 617 | @N=std(@N); |
---|
| 618 | ideal ann=std(quotient(@N,@M)); // the annihilator of @M/@N |
---|
| 619 | |
---|
| 620 | |
---|
| 621 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 622 | // the trivial and the zero-dimensional case |
---|
| 623 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 624 | int Ndim=dim(@N); |
---|
| 625 | if ((Ndim==0)||(Ndim==-1)) |
---|
| 626 | { |
---|
| 627 | return(zeroMod(@N, check)); |
---|
| 628 | } |
---|
| 629 | |
---|
| 630 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 631 | // the not-that-trivial case of ann==0 |
---|
| 632 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 633 | if(size(ann)==0) |
---|
| 634 | { |
---|
| 635 | execute("ring Rloc=("+charstr(basering)+","+varstr(basering)+"),dummy,("+ordstr(basering)+");"); |
---|
| 636 | module @N=imap(BAS, @N); |
---|
| 637 | poly @q=prepareSat(@N); |
---|
| 638 | |
---|
| 639 | setring BAS; |
---|
| 640 | poly @q=imap(Rloc, @q); |
---|
| 641 | list satu=sat(@N,@q); |
---|
| 642 | if(satu[2]==0) |
---|
| 643 | { |
---|
| 644 | return(list(list(@N,ideal(0)))); |
---|
| 645 | } |
---|
| 646 | else |
---|
| 647 | { |
---|
| 648 | check=intersect(check,satu[1]); |
---|
| 649 | return(list(list(satu[1],ideal(0)))+GTZmod(@N+(@q^satu[2])*@M,check)); |
---|
| 650 | } |
---|
| 651 | } |
---|
| 652 | |
---|
| 653 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 654 | // the preparation of the quotient ring |
---|
| 655 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 656 | intvec indVec=indepSet(ann); |
---|
| 657 | int szA; |
---|
| 658 | for (@k=1;@k<=size(indVec);@k++) |
---|
| 659 | { |
---|
| 660 | if (indVec[@k]==1) |
---|
| 661 | { |
---|
| 662 | @U=@U+varstr(@k)+","; |
---|
| 663 | } |
---|
| 664 | else |
---|
| 665 | { |
---|
| 666 | @A=@A+varstr(@k)+","; |
---|
| 667 | szA++; |
---|
| 668 | } |
---|
| 669 | } |
---|
| 670 | @U[size(@U)]=")"; // we compute the extractor (w.r.t. @U) |
---|
| 671 | execute("ring RAU="+charstr(basering)+",("+@A+@U+",(C,dp("+string(szA)+"),dp);"); |
---|
| 672 | module @N=std(imap(BAS,@N)); // this is also a standard basis in (R[U])[A] |
---|
| 673 | @A[size(@A)]=")"; |
---|
| 674 | execute("ring Rloc=("+charstr(basering)+","+@U+",("+@A+",(C,dp);"); |
---|
| 675 | module @N=imap(RAU,@N); |
---|
| 676 | kill RAU; |
---|
| 677 | |
---|
| 678 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 679 | // the zero-dimensional decomposition |
---|
| 680 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 681 | list qprim=zeroMod(@N,imap(BAS,check)); |
---|
| 682 | |
---|
| 683 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 684 | // preparation for saturation |
---|
| 685 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 686 | poly @q=prepareSat(@N); |
---|
| 687 | if (size(qprim)==0) |
---|
| 688 | { |
---|
| 689 | setring BAS; |
---|
| 690 | poly @q=imap(Rloc,@q); |
---|
| 691 | kill Rloc; |
---|
| 692 | @q=@q^sat(@N,@q)[2]; |
---|
| 693 | if (deg(@q)>0) |
---|
| 694 | { |
---|
| 695 | return(GTZmod(@N+@q*@M,check)); |
---|
| 696 | } |
---|
| 697 | else |
---|
| 698 | { |
---|
| 699 | return(list()); |
---|
| 700 | } |
---|
| 701 | } |
---|
| 702 | |
---|
| 703 | list @p; |
---|
| 704 | for (@k=1;@k<=size(qprim);@k++) |
---|
| 705 | { |
---|
| 706 | @p[@k]=list(prepareSat(qprim[@k][1]),prepareSat(qprim[@k][2])); |
---|
| 707 | } |
---|
| 708 | |
---|
| 709 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 710 | // compute the recontractions |
---|
| 711 | // back in the original ring |
---|
| 712 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 713 | setring BAS; |
---|
| 714 | list @p=imap(Rloc,@p); |
---|
| 715 | list qprim=imap(Rloc,qprim); |
---|
| 716 | poly @q=imap(Rloc,@q); |
---|
| 717 | kill Rloc; |
---|
| 718 | for(@k=1;@k<=size(qprim);@k++) |
---|
| 719 | { |
---|
| 720 | qprim[@k]=list(sat(qprim[@k][1],@p[@k][1])[1], |
---|
| 721 | sat(qprim[@k][2],@p[@k][2])[1]); |
---|
| 722 | check=intersect(check,qprim[@k][1]); |
---|
| 723 | } |
---|
| 724 | @q=@q^sat(@N,@q)[2]; |
---|
| 725 | if (deg(@q)>0) |
---|
| 726 | { |
---|
| 727 | qprim=qprim+GTZmod(@N+@q*@M,check); |
---|
| 728 | } |
---|
| 729 | |
---|
| 730 | return(qprim); |
---|
| 731 | } |
---|
| 732 | example |
---|
| 733 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 734 | ring r=0,(x,y,z),dp; |
---|
| 735 | module N=x*gen(1)+ y*gen(2), |
---|
| 736 | x*gen(1)-x2*gen(2); |
---|
| 737 | list l=GTZmod(N); |
---|
| 738 | l; |
---|
| 739 | } |
---|
| 740 | |
---|
| 741 | |
---|
| 742 | proc prepareSat(module @N, list #) |
---|
| 743 | |
---|
| 744 | { |
---|
| 745 | int @k; |
---|
| 746 | poly @p=leadcoef(@N[1]); |
---|
| 747 | for (@k=2;@k<=size(@N);@k++) |
---|
| 748 | { |
---|
| 749 | @p=lcm_chr(@p,leadcoef(@N[@k])); |
---|
| 750 | // @p=@p*leadcoef(@N[@k]); |
---|
| 751 | } |
---|
| 752 | return(@p); |
---|
| 753 | } |
---|
| 754 | |
---|
| 755 | proc lcm_chr(poly @i, poly @j) |
---|
| 756 | |
---|
| 757 | { |
---|
| 758 | def LBAS = basering; |
---|
| 759 | if (npars(basering)==0) |
---|
| 760 | { |
---|
| 761 | string strg=""; |
---|
| 762 | } |
---|
| 763 | else |
---|
| 764 | { |
---|
| 765 | if (nvars(basering)==0) |
---|
| 766 | { |
---|
| 767 | string strg=parstr(basering); |
---|
| 768 | } |
---|
| 769 | else |
---|
| 770 | { |
---|
| 771 | string strg=parstr(basering)+","; |
---|
| 772 | } |
---|
| 773 | } |
---|
| 774 | execute("ring PRing="+string(char(basering))+",("+strg+varstr(basering)+"),dp"); |
---|
| 775 | ideal @a=ideal(imap(LBAS,@i),imap(LBAS,@j)); |
---|
| 776 | poly @p=lcm(@a); |
---|
| 777 | setring LBAS; |
---|
| 778 | poly @p=imap(PRing,@p); |
---|
| 779 | kill PRing; |
---|
| 780 | return(@p); |
---|
| 781 | } |
---|
| 782 | |
---|
| 783 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 784 | // The optimized procedures and procdures needed for this optimization |
---|
| 785 | /////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 786 | |
---|
| 787 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 788 | // testit (N, l) |
---|
| 789 | // a small procedure, which checks whether |
---|
| 790 | // N=intersect(l[1][1],...,l[size(l)][1]) |
---|
| 791 | // and whether annil(l[i][1]) is primary |
---|
| 792 | // Just for testing the procedures. |
---|
| 793 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 794 | |
---|
| 795 | proc testit (module N, list #) |
---|
| 796 | "USAGE: testit (N, l); module N, list l |
---|
| 797 | EXAMPLE: example testit; shows an example |
---|
| 798 | " |
---|
| 799 | { |
---|
| 800 | if (size(#)==0) |
---|
| 801 | { |
---|
| 802 | return() |
---|
| 803 | } |
---|
| 804 | int i; |
---|
| 805 | list l=#; |
---|
| 806 | module nn=freemodule(nrows(N)); |
---|
| 807 | module M=freemodule(nrows(N)); |
---|
| 808 | |
---|
| 809 | for(i=1;i<=size(l);i++) |
---|
| 810 | { |
---|
| 811 | nn=intersect(nn,l[i][1]); |
---|
| 812 | if ((size(decomp(quotient(l[i][1],M)))>2)&&(size(l[i][2])>0)) |
---|
| 813 | { |
---|
| 814 | "nicht primary obwohl erkannt!"; |
---|
| 815 | l[i];std(quotient(l[i][1],M));std(radical(quotient(l[i][1],M))); |
---|
| 816 | pause(); |
---|
| 817 | } |
---|
| 818 | } |
---|
| 819 | int j,k; |
---|
| 820 | j=size(NF(nn,std(N),1)); |
---|
| 821 | k=size(NF(N,std(nn),1)); |
---|
| 822 | if ((j!=0)||(k!=0)) |
---|
| 823 | { |
---|
| 824 | "testit fehler!!!"; |
---|
| 825 | pause(); |
---|
| 826 | } |
---|
| 827 | } |
---|
| 828 | example |
---|
| 829 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 830 | ring r=0,(x,y,z),dp; |
---|
| 831 | module N=x*gen(1)+ y*gen(2), |
---|
| 832 | x*gen(1)-x2*gen(2); |
---|
| 833 | list l=GTZmod(N); |
---|
| 834 | testit(N,l); |
---|
| 835 | } |
---|
| 836 | |
---|
| 837 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 838 | // annil (N) |
---|
| 839 | // computes the annihilator of M/N in the basering |
---|
| 840 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 841 | |
---|
| 842 | proc annil (module N) |
---|
| 843 | "USAGE: annil(N); modul N |
---|
| 844 | RETURN: ideal ann=std(quotient(N,freemodule(nrows(N)))); |
---|
| 845 | the annihilator of M/N in the basering |
---|
| 846 | NOTE: ann is a std basis in the basering |
---|
| 847 | EXAMPLE: example annil; shows an example |
---|
| 848 | " |
---|
| 849 | { |
---|
| 850 | intvec optionsVec=option(get); |
---|
| 851 | option (returnSB); |
---|
| 852 | ideal ann=quotient(N,freemodule(nrows(N))); |
---|
| 853 | attrib (ann, "isSB",1); |
---|
| 854 | option (set,optionsVec); |
---|
| 855 | return(ann); |
---|
| 856 | } |
---|
| 857 | example |
---|
| 858 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 859 | ring r=0,(x,y,z),dp; |
---|
| 860 | module N=x*gen(1), y*gen(2); |
---|
| 861 | ideal ann=annil(N); |
---|
| 862 | ann; |
---|
| 863 | } |
---|
| 864 | |
---|
| 865 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 866 | // splitting(N[,check[, ann]]) |
---|
| 867 | // INPUT: a zero-dimensional module N, module check, ideal ann=annil(N) |
---|
| 868 | // splitting computes an list of modules |
---|
| 869 | // using the factorization of the elements of annil(N) |
---|
| 870 | // s.th. N is equal to the intersections of these modules |
---|
| 871 | // A prim test is used to check if the modules are primary |
---|
| 872 | // OUTPUT: (l, check) |
---|
| 873 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 874 | |
---|
| 875 | proc splitting (module @N, list #) |
---|
| 876 | "USAGE: splitting(N[,check[, ann]]); modul N, module check, ideal ann |
---|
| 877 | RETURN: (l, check) list l, module check |
---|
[53ec64] | 878 | the elements of l consists of quadruples, where |
---|
| 879 | [1] is of type module, [2], [3] and [4] are of type ideal, |
---|
[fab80c2] | 880 | s.th. the intersection of the modules is equal to the |
---|
| 881 | zero-dimensional module N, furthermore l[j][3]=annil(l[j][1]) |
---|
[53ec64] | 882 | and l[j][4] contains internal ideal data; |
---|
[fab80c2] | 883 | if l[j][2]!=0 then the module l[j][1] is primary |
---|
[fa8122] | 884 | with associated prime l[j][2], and check=intersect(check, l[j][1]) is computed |
---|
[fab80c2] | 885 | NOTE: if the parameter check is given, only components not containing |
---|
| 886 | check are computed; if ann is given, ann is used instead of annil(N) |
---|
| 887 | EXAMPLE: example splitting; shows an example |
---|
| 888 | " |
---|
| 889 | { |
---|
| 890 | ideal ann; module check, @M; int checked; |
---|
| 891 | (ann, check, @M,checked)=getData(@N,#); |
---|
| 892 | if(checked) |
---|
| 893 | { |
---|
| 894 | return(list()); |
---|
| 895 | } |
---|
| 896 | if(size(#)>=3) |
---|
| 897 | { |
---|
| 898 | ideal splitPrime=#[3]; |
---|
| 899 | } |
---|
| 900 | else |
---|
| 901 | { |
---|
| 902 | ideal splitPrime=ann; |
---|
| 903 | } |
---|
| 904 | |
---|
| 905 | list fact, result, splitTemp; |
---|
| 906 | int @i,@k,@j,szFact; |
---|
| 907 | for (@i=1;@i<=size(ann);@i++) |
---|
| 908 | { |
---|
[409020] | 909 | fact=factorize(ann[@i],2); |
---|
[fab80c2] | 910 | szFact=size(fact[2]); |
---|
| 911 | // if the element is the power of an irreducible element |
---|
| 912 | if(szFact==1) |
---|
| 913 | { |
---|
| 914 | if(vdim(ann)==deg(ann[@i])) |
---|
| 915 | { |
---|
| 916 | splitPrime=interred(splitPrime+ideal(fact[1][1])); |
---|
| 917 | result=result+list(list(@N,splitPrime,ann,splitPrime)); |
---|
| 918 | } |
---|
| 919 | else |
---|
| 920 | { |
---|
| 921 | splitPrime=interred(splitPrime+ideal(fact[1][1])); |
---|
| 922 | if (homog(splitPrime)) |
---|
| 923 | { |
---|
| 924 | result=result+list(list(@N,maxideal(1),ann,splitPrime)); |
---|
| 925 | } |
---|
| 926 | } |
---|
| 927 | } |
---|
| 928 | else |
---|
| 929 | { |
---|
| 930 | if(gcdTest(fact[1])) // Case: (f1,...,fk)=(1) |
---|
| 931 | { |
---|
| 932 | (splitTemp, check)=sp1(@N,fact,check,ann,splitPrime); |
---|
| 933 | result=result+splitTemp; |
---|
| 934 | } |
---|
| 935 | else |
---|
| 936 | { |
---|
| 937 | // if the element is not irreducible |
---|
| 938 | (splitTemp, check)=sp2(@N,fact[1][1],check,ann,splitPrime); |
---|
| 939 | result=result+splitTemp; |
---|
| 940 | } |
---|
| 941 | } |
---|
| 942 | } |
---|
| 943 | @i=1;@k=size(result); |
---|
| 944 | |
---|
| 945 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 946 | // delete multiple Modules |
---|
| 947 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 948 | while (@i<=@k) |
---|
| 949 | { |
---|
| 950 | @j=1; |
---|
| 951 | while(@j<=@i-1) |
---|
| 952 | { |
---|
| 953 | if (stdModulesEqual(result[@j][1],result[@k][1])) |
---|
| 954 | { |
---|
| 955 | result=delete(result,@i); |
---|
| 956 | @k--;@i--;break; |
---|
| 957 | } |
---|
| 958 | @j++; |
---|
| 959 | } |
---|
| 960 | @i++; |
---|
| 961 | } |
---|
| 962 | list rest; |
---|
| 963 | @i=1;@k=size(result); |
---|
| 964 | |
---|
| 965 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 966 | // if not primary then split the obtained modules once again |
---|
| 967 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 968 | while (@i<=@k) |
---|
| 969 | { |
---|
| 970 | if (size(result[@i][2])==0) |
---|
| 971 | { |
---|
| 972 | rest=rest+list(list(result[@i][1],result[@i][3],result[@i][4])); |
---|
| 973 | result=delete(result,@i); |
---|
| 974 | @k--;@i--; |
---|
| 975 | } |
---|
| 976 | else |
---|
| 977 | { |
---|
| 978 | check=intersect(check,result[@i][1]); |
---|
| 979 | } |
---|
| 980 | @i++; |
---|
| 981 | } |
---|
| 982 | for(@i=1;@i<=size(rest);@i++) |
---|
| 983 | { |
---|
| 984 | (splitTemp,check)=splitting(rest[@i][1],check,rest[@i][2],rest[@i][3]); |
---|
| 985 | result=result+splitTemp; |
---|
| 986 | } |
---|
| 987 | |
---|
| 988 | if (size(result)==0) |
---|
| 989 | { |
---|
| 990 | result=list(list(@N,ideal(0),ann,ann)); |
---|
| 991 | } |
---|
| 992 | return(result, check); |
---|
| 993 | } |
---|
| 994 | example |
---|
| 995 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 996 | ring r=0,z,lp; |
---|
| 997 | module N=z*gen(1), (z+1)*gen(2); |
---|
| 998 | N=std(N); |
---|
| 999 | list l; module check; |
---|
| 1000 | (l, check)=splitting(N); |
---|
| 1001 | l; |
---|
| 1002 | check; |
---|
| 1003 | } |
---|
| 1004 | |
---|
| 1005 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1006 | // sp1: splits a module as follows |
---|
| 1007 | // (N+f*g*M)=intersect((N+f*M),(N+g*M)) if (f,g)=(1) |
---|
| 1008 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1009 | |
---|
| 1010 | static proc sp1(module @N,list fact,list #) |
---|
| 1011 | { |
---|
| 1012 | ideal ann; module check, @M; int @i; |
---|
| 1013 | (ann, check, @M, @i)=getData(@N, #); |
---|
| 1014 | if(size(#)>=3) |
---|
| 1015 | { |
---|
| 1016 | ideal splitPrime=#[3]; |
---|
| 1017 | } |
---|
| 1018 | else |
---|
| 1019 | { |
---|
| 1020 | ideal splitPrime=ann; |
---|
| 1021 | } |
---|
| 1022 | list pr; |
---|
| 1023 | module splitMod; |
---|
| 1024 | ideal splitAnn, prim, tempPrime; |
---|
| 1025 | for(@i=1;@i<=size(fact[2]);@i++) |
---|
| 1026 | { |
---|
| 1027 | splitMod=std(@N+(fact[1][@i]^fact[2][@i])*@M); |
---|
| 1028 | if(size(NF(check,splitMod,1))>0) |
---|
| 1029 | { |
---|
| 1030 | splitAnn=std(ann,(fact[1][@i]^fact[2][@i])); |
---|
| 1031 | tempPrime=interred(splitPrime+ideal(fact[1][@i])); |
---|
| 1032 | prim=primTest(splitAnn,fact[1][@i],tempPrime); |
---|
| 1033 | pr=pr+list(list(splitMod,prim,splitAnn,tempPrime)); |
---|
| 1034 | if (size(prim)>0) |
---|
| 1035 | { |
---|
| 1036 | check=intersect(check,splitMod); |
---|
| 1037 | } |
---|
| 1038 | } |
---|
| 1039 | } |
---|
| 1040 | return (pr, check); |
---|
| 1041 | } |
---|
| 1042 | |
---|
| 1043 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1044 | // sp2: splits a module as follows |
---|
| 1045 | // N=intersect((N:f),(N+f*M)) |
---|
| 1046 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1047 | |
---|
| 1048 | static proc sp2(module @N, poly p, list #) |
---|
| 1049 | { |
---|
| 1050 | ideal ann; module check, @M; int @i; |
---|
| 1051 | (ann, check, @M, @i)=getData(@N, #); |
---|
| 1052 | if(size(#)>=3) |
---|
| 1053 | { |
---|
| 1054 | ideal splitPrime=#[3]; |
---|
| 1055 | } |
---|
| 1056 | else |
---|
| 1057 | { |
---|
| 1058 | ideal splitPrime=ann; |
---|
| 1059 | } |
---|
| 1060 | list fact=sat(@N, p); |
---|
| 1061 | list splitList; |
---|
| 1062 | ideal splitAnn, prim, tempPrime; |
---|
| 1063 | if (fact[2]>0) |
---|
| 1064 | { |
---|
| 1065 | module n1=std(@N+(p^fact[2]*@M)); |
---|
| 1066 | module n2=fact[1]; |
---|
| 1067 | if (size(NF(check,n1,1))>0) |
---|
| 1068 | { |
---|
| 1069 | splitAnn=std(ann+ideal(p^fact[2])); |
---|
| 1070 | tempPrime=interred(splitPrime+ideal(p)); |
---|
| 1071 | prim=primTest(tempPrime); |
---|
| 1072 | splitList=list(list(n1, prim, splitAnn,tempPrime)); |
---|
| 1073 | if(size(prim)>0) |
---|
| 1074 | { |
---|
| 1075 | check=intersect(check, n1); |
---|
| 1076 | } |
---|
| 1077 | } |
---|
| 1078 | if(size(NF(check,n2,1))>0) |
---|
| 1079 | { |
---|
| 1080 | splitAnn=annil(n2); |
---|
| 1081 | prim=primTest(splitAnn); |
---|
| 1082 | splitList=splitList+list(list(n2,prim,splitAnn,splitAnn)); |
---|
| 1083 | if(size(prim)>0) |
---|
| 1084 | { |
---|
| 1085 | check=intersect(check, n2); |
---|
| 1086 | } |
---|
| 1087 | } |
---|
| 1088 | return(splitList, check); |
---|
| 1089 | } |
---|
| 1090 | else |
---|
| 1091 | { |
---|
| 1092 | return (list(list(@N,ideal(0),ideal(0))), check); |
---|
| 1093 | } |
---|
| 1094 | } |
---|
| 1095 | |
---|
| 1096 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1097 | // primeTest(i[, p]) |
---|
| 1098 | // tests whether i is prime or homogeneous |
---|
| 1099 | // is both cases radical(i) is returned |
---|
| 1100 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1101 | |
---|
| 1102 | proc primTest(ideal id, list #) |
---|
| 1103 | "USAGE: primTest(i[, p]); a zero-dimensional ideal i, irreducible poly p in i |
---|
[53ec64] | 1104 | RETURN: if i is neither prime nor homogeneous then ideal(0) is returned, |
---|
| 1105 | otherwise radical(i) |
---|
[fab80c2] | 1106 | EXAMPLE: example primTest; shows an example |
---|
| 1107 | " |
---|
| 1108 | { |
---|
| 1109 | ideal tempPrime; |
---|
| 1110 | int testTempPrime; |
---|
| 1111 | if (size(#)>0) |
---|
| 1112 | { |
---|
| 1113 | poly @p=#[1]; |
---|
| 1114 | if(size(#)>1) |
---|
| 1115 | { |
---|
| 1116 | tempPrime=#[2]; |
---|
| 1117 | testTempPrime=1; |
---|
| 1118 | } |
---|
| 1119 | } |
---|
| 1120 | else |
---|
| 1121 | { |
---|
| 1122 | poly @p=0; |
---|
| 1123 | |
---|
| 1124 | } |
---|
| 1125 | ideal prim=ideal(0); |
---|
| 1126 | if((size(#)>0)&&(vdim(id)==deg(@p))) |
---|
| 1127 | { |
---|
| 1128 | prim=id; |
---|
| 1129 | } |
---|
| 1130 | else |
---|
| 1131 | { |
---|
| 1132 | if ((homog(id))||((testTempPrime)&&(homog(tempPrime)))) |
---|
| 1133 | { |
---|
| 1134 | prim=maxideal(1); |
---|
| 1135 | } |
---|
| 1136 | } |
---|
| 1137 | return (prim); |
---|
| 1138 | } |
---|
| 1139 | example |
---|
| 1140 | { "EXAMPLE:"; echo=2; |
---|
| 1141 | ring r=0,(x,y,z),lp; |
---|
| 1142 | ideal i=x+1,y-1,z; |
---|
| 1143 | i=std(i); |
---|
| 1144 | ideal primId=primTest(i,z); |
---|
| 1145 | primId; |
---|
| 1146 | |
---|
| 1147 | i=x,z2,yz,y2; |
---|
| 1148 | i=std(i); |
---|
| 1149 | primId=primTest(i); |
---|
| 1150 | primId; |
---|
| 1151 | } |
---|
| 1152 | |
---|
| 1153 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1154 | // preComp(N, check[, ann]) |
---|
| 1155 | // preComp is an enhanced version of splitting, |
---|
| 1156 | // but before computing splitting the first element of std(annil(N)) |
---|
| 1157 | // is factorized and the obtained modules are tested for primarity |
---|
| 1158 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1159 | |
---|
| 1160 | proc preComp (module @N, list #) |
---|
| 1161 | "USAGE: preComp(N,check[, ann]); modul N, module check, ideal ann |
---|
| 1162 | RETURN: (l, check) list l, module check |
---|
| 1163 | the elements of l consists of a triple with |
---|
| 1164 | [1] of type module [2] and [3] of type ideal |
---|
| 1165 | s.th. the intersection of the modules is equal to the |
---|
| 1166 | zero-dimensional module N, furthermore l[j][3]=annil(l[j][1]) |
---|
| 1167 | if l[j][2]!=0 then the module l[j][1] is primary |
---|
| 1168 | with associated prime l[j][2], |
---|
| 1169 | and check=intersect(check, l[j][1]) is computed |
---|
| 1170 | NOTE: only components not containing check are computed; |
---|
| 1171 | if ann is given, ann is used instead of annil(N) |
---|
| 1172 | EXAMPLE: example preComp; shows an example |
---|
| 1173 | " |
---|
| 1174 | { |
---|
| 1175 | def BAS=basering; |
---|
[daa83b] | 1176 | def @R=changeord("C,lp"); |
---|
| 1177 | setring @R; |
---|
[fab80c2] | 1178 | module @N=std(imap(BAS,@N)); |
---|
| 1179 | ideal ann; module check, @M; int @k; |
---|
| 1180 | (ann, check, @M, @k)=getData(@N,imap(BAS,#),1); |
---|
| 1181 | list act,primary; |
---|
| 1182 | ideal primid,helpid; |
---|
| 1183 | module primmod; |
---|
| 1184 | |
---|
| 1185 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1186 | // the first element of the standardbase is factorized |
---|
| 1187 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1188 | if(deg(ann[1])>0) |
---|
| 1189 | { |
---|
[409020] | 1190 | act=factorize(ann[1],2); |
---|
[fab80c2] | 1191 | } |
---|
| 1192 | else |
---|
| 1193 | { |
---|
| 1194 | setring BAS; |
---|
| 1195 | module check=imap(@R,check); |
---|
| 1196 | kill @R; |
---|
| 1197 | return(list(), check); |
---|
| 1198 | } |
---|
| 1199 | |
---|
| 1200 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1201 | // with the factors new modules are created |
---|
| 1202 | // (hopefully the primary decomposition) |
---|
| 1203 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1204 | if(size(act[1])>1) // Case: act[1] not irreducible |
---|
| 1205 | { |
---|
| 1206 | for(@k=1;@k<=size(act[1]);@k++) |
---|
| 1207 | { |
---|
| 1208 | primmod=std(@N+(act[1][@k]^act[2][@k])*@M); |
---|
| 1209 | if (size(NF(check,primmod,1))>0) |
---|
| 1210 | { |
---|
| 1211 | primid=std(ann,act[1][@k]^act[2][@k]); |
---|
| 1212 | if((act[2][@k]==1)&&(vdim(primid)==deg(act[1][@k]))) |
---|
| 1213 | { |
---|
| 1214 | primary = primary+list(list(primmod,primid,primid)); |
---|
| 1215 | } |
---|
| 1216 | else |
---|
| 1217 | { |
---|
| 1218 | helpid=primid; |
---|
| 1219 | primid=primaryTest(primid,act[1][@k]); |
---|
| 1220 | primary = primary+list(list(primmod,primid,helpid)); |
---|
| 1221 | } |
---|
| 1222 | } |
---|
| 1223 | if (size(primid)>0) |
---|
| 1224 | { |
---|
| 1225 | check=intersect(check, primmod); |
---|
| 1226 | } |
---|
| 1227 | } |
---|
| 1228 | } |
---|
| 1229 | else // Case: act[1] irreducible |
---|
| 1230 | { |
---|
| 1231 | primid=ann; |
---|
| 1232 | primmod=@N; |
---|
| 1233 | |
---|
| 1234 | if (size(NF(check,primmod,1))>0) |
---|
| 1235 | { |
---|
| 1236 | if((act[2][1]==1)&&(vdim(primid)==deg(act[1][1]))) |
---|
| 1237 | { |
---|
| 1238 | primary = primary+list(list(primmod,primid,primid)); |
---|
| 1239 | } |
---|
| 1240 | else |
---|
| 1241 | { |
---|
| 1242 | primid = primaryTest(primid,act[1][1]); |
---|
| 1243 | primary = primary+list(list(primmod,primid,ann)); |
---|
| 1244 | } |
---|
| 1245 | if (size(primid)>0) |
---|
| 1246 | { |
---|
| 1247 | check=intersect(check,primmod); |
---|
| 1248 | } |
---|
| 1249 | } |
---|
| 1250 | } |
---|
| 1251 | |
---|
| 1252 | if (size(primary)==0) |
---|
| 1253 | { |
---|
| 1254 | setring BAS; |
---|
| 1255 | module check=imap(@R,check); |
---|
| 1256 | kill @R; |
---|
| 1257 | return(list(), check); |
---|
| 1258 | } |
---|
| 1259 | |
---|
| 1260 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1261 | // the modules which are not primary are splitted |
---|
| 1262 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1263 | list splitTemp; |
---|
| 1264 | int sz=size(primary); |
---|
| 1265 | @k=1; |
---|
| 1266 | while (@k<=sz) |
---|
| 1267 | { |
---|
| 1268 | if (size(primary[@k][2])==0) |
---|
| 1269 | { |
---|
| 1270 | (splitTemp, check)=splitting(primary[@k][1],check,primary[@k][3]); |
---|
| 1271 | primary = delete(primary, @k)+splitTemp; |
---|
| 1272 | @k--;sz--; |
---|
| 1273 | } |
---|
| 1274 | @k++; |
---|
| 1275 | } |
---|
| 1276 | |
---|
| 1277 | setring BAS; |
---|
| 1278 | list primary=imap(@R,primary); |
---|
| 1279 | module check=imap(@R,check); |
---|
| 1280 | kill @R; |
---|
| 1281 | return(primary,check); |
---|
| 1282 | } |
---|
| 1283 | example |
---|
| 1284 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 1285 | ring r=0,z,lp; |
---|
| 1286 | module N=z*gen(1), (z+1)*gen(2); |
---|
| 1287 | N=std(N); |
---|
| 1288 | list l; module check; |
---|
| 1289 | (l, check)=preComp(N,freemodule(2)); |
---|
| 1290 | l; |
---|
| 1291 | check; |
---|
| 1292 | } |
---|
| 1293 | |
---|
| 1294 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1295 | // indSet(i) |
---|
| 1296 | // based on independendSet from primdec.lib |
---|
| 1297 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1298 | |
---|
| 1299 | proc indSet (ideal @j) |
---|
| 1300 | "USAGE: indSet(i); i ideal |
---|
[53ec64] | 1301 | RETURN: list with two entries |
---|
| 1302 | both are lists of new varstrings with the dependent variables, |
---|
[fab80c2] | 1303 | the independent set, the ordstring with the corresp. block ordering, |
---|
| 1304 | and the integer where the independent set starts in the varstring |
---|
[53ec64] | 1305 | NOTE: the first entry gives the strings for all maximal independent sets |
---|
| 1306 | the second gives the strings for the independent sets, |
---|
[fab80c2] | 1307 | which cannot be enhanced |
---|
| 1308 | EXAMPLE: example indSet; shows an example |
---|
| 1309 | " |
---|
| 1310 | { |
---|
| 1311 | int n,k,di; |
---|
| 1312 | int jdim=dim(@j); |
---|
| 1313 | list maxind, rest,hilf; |
---|
| 1314 | string var1,var2; |
---|
| 1315 | list v=indepSet(@j,1); |
---|
| 1316 | |
---|
| 1317 | for(n=1;n<=size(v);n++) |
---|
| 1318 | { |
---|
| 1319 | di=0; |
---|
| 1320 | var1=""; |
---|
| 1321 | var2=""; |
---|
| 1322 | for(k=1;k<=size(v[n]);k++) |
---|
| 1323 | { |
---|
| 1324 | if(v[n][k]!=0) |
---|
| 1325 | { |
---|
| 1326 | di++; |
---|
| 1327 | var2=var2+string(var(k))+","; |
---|
| 1328 | } |
---|
| 1329 | else |
---|
| 1330 | { |
---|
| 1331 | var1=var1+string(var(k))+","; |
---|
| 1332 | } |
---|
| 1333 | } |
---|
| 1334 | if(di>0) |
---|
| 1335 | { |
---|
| 1336 | var1=var1[1..size(var1)-1]; |
---|
| 1337 | var2=var2[1..size(var2)-1]; |
---|
| 1338 | hilf[1]=var1; |
---|
| 1339 | hilf[2]=var2; |
---|
| 1340 | hilf[3]="(C,dp("+string(nvars(basering)-di)+"),dp)"; |
---|
| 1341 | //"lp("+string(nvars(basering)-di)+"),dp("+string(di)+")"; |
---|
| 1342 | hilf[4]=di; |
---|
| 1343 | if(di==jdim) |
---|
| 1344 | { |
---|
| 1345 | maxind=maxind+list(hilf); |
---|
| 1346 | } |
---|
| 1347 | else |
---|
| 1348 | { |
---|
| 1349 | rest=rest+list(hilf); |
---|
| 1350 | } |
---|
| 1351 | } |
---|
| 1352 | else |
---|
| 1353 | { |
---|
| 1354 | |
---|
| 1355 | if(jdim==0) |
---|
| 1356 | { |
---|
| 1357 | maxind=maxind+list(varstr(basering),"dummy",ordstr(basering),0); |
---|
| 1358 | } |
---|
| 1359 | else |
---|
| 1360 | { |
---|
| 1361 | rest=rest+list(varstr(basering),"dummy",ordstr(basering),0); |
---|
| 1362 | } |
---|
| 1363 | resu[n]=varstr(basering),ordstr(basering),0; |
---|
| 1364 | } |
---|
| 1365 | } |
---|
| 1366 | return(list(maxind,rest)); |
---|
| 1367 | } |
---|
| 1368 | example |
---|
| 1369 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 1370 | ring s1=(0,x,y),(a,b,c,d,e,f,g),lp; |
---|
| 1371 | ideal i=ea-fbg,fa+be,ec-fdg,fc+de; |
---|
| 1372 | i=std(i); |
---|
| 1373 | list l=indSet(i); |
---|
| 1374 | l; |
---|
| 1375 | } |
---|
| 1376 | |
---|
| 1377 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1378 | // GTZopt(N[,check[, ann]]) |
---|
| 1379 | // a faster version of GTZMod |
---|
| 1380 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1381 | |
---|
| 1382 | proc GTZopt (module @N, list #) |
---|
| 1383 | "USAGE: GTZopt (N[, check]); module N[, module check] |
---|
| 1384 | RETURN: list l |
---|
| 1385 | the minimal primary decomposition of the module N, |
---|
| 1386 | computed by a generalized and optimized version of |
---|
[53ec64] | 1387 | the algorithm of Gianni, Trager and Zacharias |
---|
[fab80c2] | 1388 | NOTE: if the parameter check is given, only components |
---|
| 1389 | not containing check are computed |
---|
| 1390 | EXAMPLE: example GTZmod; shows an example |
---|
| 1391 | " |
---|
| 1392 | { |
---|
| 1393 | @N=std(@N); |
---|
| 1394 | if (size(@N)==0) |
---|
| 1395 | { |
---|
| 1396 | return(list(@N,ideal(0))); |
---|
| 1397 | } |
---|
| 1398 | |
---|
| 1399 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1400 | // the module check is needed to compute a minimal decomposition |
---|
| 1401 | // components containing check are ignored |
---|
| 1402 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1403 | ideal ann; module check, @M; int checked; |
---|
| 1404 | (ann, check, @M, checked)=getData(@N, #); |
---|
| 1405 | if (checked) |
---|
| 1406 | { |
---|
| 1407 | return(list()); |
---|
| 1408 | } |
---|
| 1409 | |
---|
| 1410 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1411 | // if ann is zero-dimensional and homogeneous |
---|
| 1412 | // then it is primary with associated prime maxideal(1) |
---|
| 1413 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1414 | if((homog(ann)==1)&&(dim(ann)==0)) |
---|
| 1415 | { |
---|
| 1416 | return(list(list(@N,maxideal(1)))); |
---|
| 1417 | } |
---|
| 1418 | |
---|
| 1419 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1420 | // the not-that-trivial case of ann==0 |
---|
| 1421 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1422 | def BAS = basering; |
---|
| 1423 | if(size(ann)==0) //check, whether ann=0 |
---|
| 1424 | { |
---|
| 1425 | execute("ring Rloc=("+charstr(basering)+","+varstr(basering)+"),dummy,("+ordstr(basering)+");"); |
---|
| 1426 | module @N=clrSBmod(imap(BAS, @N)); |
---|
| 1427 | module @M=freemodule(nrows(@N)); |
---|
| 1428 | poly @q=prepareSat(@N); |
---|
| 1429 | |
---|
| 1430 | setring BAS; |
---|
| 1431 | poly @q=imap(Rloc, @q); |
---|
| 1432 | list satu=sat(@N,@q); |
---|
| 1433 | |
---|
| 1434 | if(satu[2]==0) |
---|
| 1435 | { |
---|
| 1436 | return(list(list(@N,ideal(0)))); |
---|
| 1437 | } |
---|
| 1438 | else |
---|
| 1439 | { |
---|
| 1440 | check=intersect(check,satu[1]); |
---|
| 1441 | return(list(list(satu[1],ideal(0)))+GTZopt(@N+(@q^satu[2])*@M,check)); |
---|
| 1442 | } |
---|
| 1443 | } |
---|
| 1444 | |
---|
| 1445 | int @k1, @k2, @k3, @k4; // the indices for nested for/while loops |
---|
| 1446 | int nVar=nvars(BAS); |
---|
| 1447 | int Ndim=dim(@N); |
---|
| 1448 | |
---|
| 1449 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1450 | // Simplification of the modules using |
---|
| 1451 | // N=N/(a*x_i+b)*M+(a*x_i+b)*M, for (a*x_i+b) in ann |
---|
| 1452 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1453 | if (size(#)==0) |
---|
| 1454 | { |
---|
| 1455 | ideal fried; |
---|
| 1456 | @k2=size(ann); |
---|
| 1457 | for(@k1=1;@k1<=@k2;@k1++) |
---|
| 1458 | { |
---|
| 1459 | if(deg(lead(ann[@k1]))==1) |
---|
| 1460 | { |
---|
| 1461 | fried[size(fried)+1]=ann[@k1]; |
---|
| 1462 | } |
---|
| 1463 | } |
---|
| 1464 | if(size(fried)==nVar) |
---|
| 1465 | { |
---|
| 1466 | return(list(list(@N, ann))); |
---|
| 1467 | } |
---|
| 1468 | if(size(fried)>0) |
---|
| 1469 | { |
---|
| 1470 | string newva; |
---|
| 1471 | string newma; |
---|
| 1472 | for(@k1=1;@k1<=nVar;@k1++) |
---|
| 1473 | { |
---|
| 1474 | checked=0; |
---|
| 1475 | for(@k2=1;@k2<=size(fried);@k2++) |
---|
| 1476 | { |
---|
| 1477 | if(leadmonom(fried[@k2])==var(@k1)) |
---|
| 1478 | { |
---|
| 1479 | checked=1; |
---|
| 1480 | break; |
---|
| 1481 | } |
---|
| 1482 | } |
---|
| 1483 | if(checked==0) |
---|
| 1484 | { |
---|
| 1485 | newva=newva+string(var(@k1))+","; |
---|
| 1486 | newma=newma+string(var(@k1))+","; |
---|
| 1487 | } |
---|
| 1488 | else |
---|
| 1489 | { |
---|
| 1490 | newma=newma+string(var(@k1)-((1/leadcoef(fried[@k2]))*fried[@k2]))+","; |
---|
| 1491 | } |
---|
| 1492 | } |
---|
| 1493 | newva[size(newva)]=")"; |
---|
| 1494 | newma[size(newma)]=";"; |
---|
| 1495 | execute("ring @deirf=("+charstr(BAS)+"),("+newva+",(C,lp);"); |
---|
| 1496 | execute("map @kappa=BAS,"+newma); |
---|
| 1497 | ideal @j = @kappa(ann); |
---|
| 1498 | module @N = @kappa(@N); |
---|
| 1499 | @N=simplify(@N,2); |
---|
| 1500 | @j=simplify(@j,2); |
---|
| 1501 | list pr=GTZopt(@N,freemodule(nrows(@N)),@j); |
---|
| 1502 | setring BAS; |
---|
| 1503 | list pr=imap(@deirf,pr); |
---|
| 1504 | |
---|
| 1505 | for(@k1=1;@k1<=size(pr);@k1++) |
---|
| 1506 | { |
---|
| 1507 | pr[@k1][1]=std(pr[@k1][1]+fried*@M); |
---|
| 1508 | pr[@k1][2]=std(pr[@k1][2]+fried); |
---|
| 1509 | } |
---|
| 1510 | return(pr); |
---|
| 1511 | } |
---|
| 1512 | } |
---|
| 1513 | |
---|
| 1514 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1515 | // the trivial case |
---|
| 1516 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1517 | if(Ndim==-1) |
---|
| 1518 | { |
---|
| 1519 | return(list(list(@N,ideal(1)))); |
---|
| 1520 | } |
---|
| 1521 | |
---|
| 1522 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1523 | // the case of one variable |
---|
| 1524 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1525 | if(nVar==1) |
---|
| 1526 | { |
---|
| 1527 | return(dec1var(@N)); |
---|
| 1528 | } |
---|
| 1529 | |
---|
| 1530 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1531 | // the zerodimensional case |
---|
| 1532 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1533 | if (Ndim==0) |
---|
| 1534 | { |
---|
| 1535 | return(zeroOpt(@N, check, ann)); |
---|
| 1536 | } |
---|
| 1537 | |
---|
| 1538 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1539 | // the preparation of the quotient ring |
---|
| 1540 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1541 | list result; |
---|
| 1542 | list indep =indSet(ann); |
---|
| 1543 | poly @q; |
---|
| 1544 | list @p,primary; |
---|
| 1545 | ideal @h; |
---|
| 1546 | int szIndep; |
---|
| 1547 | for (@k1=1;@k1<=2;@k1++) |
---|
| 1548 | { |
---|
| 1549 | szIndep=size(indep[@k1]); |
---|
| 1550 | for (@k2=1;@k2<=szIndep;@k2++) |
---|
| 1551 | { |
---|
| 1552 | execute("ring RAU=("+charstr(basering)+"),("+indep[@k1][@k2][1]+","+indep[@k1][@k2][2]+"),"+indep[@k1][@k2][3]+";"); |
---|
| 1553 | module @N=std(imap(BAS,@N)); // the standard basis in (R[U])[A] |
---|
| 1554 | execute("ring Rloc=("+charstr(basering)+","+indep[@k1][@k2][2]+"),("+indep[@k1][@k2][1]+"),(C,dp);"); |
---|
| 1555 | module @N=imap(RAU,@N); //std in lokalisierung |
---|
| 1556 | @N=clrSBmod(@N); |
---|
| 1557 | kill RAU; |
---|
| 1558 | |
---|
| 1559 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1560 | // the zero-dimensional decomposition |
---|
| 1561 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1562 | list qprim, preList; |
---|
| 1563 | module check=imap(BAS, check); |
---|
| 1564 | (preList,check)=preComp(@N,check); |
---|
| 1565 | for (@k3=1; @k3<=size(preList); @k3++) |
---|
| 1566 | { |
---|
| 1567 | if(size(preList[@k3][2])>0) |
---|
| 1568 | { |
---|
| 1569 | qprim=qprim+list(list(preList[@k3][1],preList[@k3][2])); |
---|
| 1570 | } |
---|
| 1571 | else |
---|
| 1572 | { |
---|
| 1573 | checked=size(qprim); |
---|
| 1574 | qprim=qprim+zeroOpt(preList[@k3][1], check, preList[@k3][3]); |
---|
| 1575 | for(@k4=checked+1;@k4<=size(qprim);@k4++) |
---|
| 1576 | { |
---|
| 1577 | check=intersect(check, qprim[@k4][1]); |
---|
| 1578 | } |
---|
| 1579 | } |
---|
| 1580 | } // end of for(@k3...) |
---|
| 1581 | kill preList; |
---|
| 1582 | |
---|
| 1583 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1584 | // Preparation of the saturation of @N |
---|
| 1585 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1586 | //poly pp=prepareSat(@N); |
---|
| 1587 | ideal @h2; |
---|
| 1588 | for (@k3=1;@k3<=size(@N);@k3++) |
---|
| 1589 | { |
---|
| 1590 | @h2[@k3]=leadcoef(@N[@k3]); |
---|
| 1591 | } |
---|
| 1592 | |
---|
| 1593 | if (size(qprim)==0) // there aren't any new components |
---|
| 1594 | { |
---|
| 1595 | setring BAS; |
---|
| 1596 | check=imap(Rloc,check); |
---|
| 1597 | @h=imap(Rloc,@h2); |
---|
| 1598 | @q=minSatMod(imap(BAS,@N),@h)[2]; |
---|
| 1599 | // @q=imap(Rloc,pp)^sat(imap(BAS,@N),imap(Rloc,pp))[2]; |
---|
| 1600 | kill Rloc; |
---|
| 1601 | if (deg(@q)>0) |
---|
| 1602 | { |
---|
| 1603 | @N=std(@N+@q*@M); |
---|
| 1604 | ann=std(ideal(ann+@q)); |
---|
| 1605 | kill qprim; |
---|
| 1606 | } |
---|
| 1607 | } |
---|
| 1608 | else // there are new components |
---|
| 1609 | { |
---|
| 1610 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1611 | // Preparation of the saturation of qprim |
---|
| 1612 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1613 | list @p2; |
---|
| 1614 | for (@k3=1;@k3<=size(qprim);@k3++) |
---|
| 1615 | { |
---|
| 1616 | @p2[@k3]=list(prepareSat(qprim[@k3][1]),prepareSat(qprim[@k3][2])); |
---|
| 1617 | } |
---|
| 1618 | |
---|
| 1619 | |
---|
| 1620 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1621 | // compute the recontractions |
---|
| 1622 | // back in the original ring |
---|
| 1623 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1624 | setring BAS; |
---|
| 1625 | @p=imap(Rloc,@p2); |
---|
| 1626 | primary=imap(Rloc,qprim); |
---|
| 1627 | @h=imap(Rloc,@h2); |
---|
| 1628 | kill Rloc; |
---|
| 1629 | for(@k3=1;@k3<=size(primary);@k3++) |
---|
| 1630 | { |
---|
| 1631 | primary[@k3]=list(sat(primary[@k3][1],@p[@k3][1])[1], |
---|
| 1632 | sat(primary[@k3][2],@p[@k3][2])[1]); |
---|
| 1633 | check=intersect(check,primary[@k3][1]); |
---|
| 1634 | } |
---|
| 1635 | @q=minSatMod(imap(BAS,@N),@h)[2]; |
---|
| 1636 | result=result+primary; |
---|
| 1637 | if (deg(@q)>0) |
---|
| 1638 | { |
---|
| 1639 | @N=std(@N+@q*@M); |
---|
| 1640 | ann=std(ideal(ann+@q)); |
---|
| 1641 | } |
---|
| 1642 | } // end of else |
---|
| 1643 | if ((@k1==1)&&(@k2<szIndep)&&(Ndim>dim(ann))) |
---|
| 1644 | { |
---|
| 1645 | break; |
---|
| 1646 | } |
---|
| 1647 | } |
---|
| 1648 | } |
---|
| 1649 | return(result+GTZopt(@N,check,ann)); |
---|
| 1650 | } |
---|
| 1651 | example |
---|
| 1652 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 1653 | ring r=0,(x,y,z),dp; |
---|
| 1654 | module N=x*gen(1)+ y*gen(2), |
---|
| 1655 | x*gen(1)-x2*gen(2); |
---|
| 1656 | list l=GTZopt(N); |
---|
| 1657 | l; |
---|
| 1658 | } |
---|
| 1659 | |
---|
| 1660 | |
---|
| 1661 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1662 | // dec1var(N[,check[, ann]]) |
---|
| 1663 | // primary decompostion for a ring with one variable |
---|
| 1664 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1665 | |
---|
| 1666 | proc dec1var (module @N, list #) |
---|
| 1667 | "USAGE: dec1var (N); zero-dimensional module N[, module check] |
---|
| 1668 | RETURN: list l |
---|
| 1669 | the minimal primary decomposition of a submodule N of R^s |
---|
| 1670 | if nvars(R)=1 |
---|
[fa8122] | 1671 | NOTE: if the parameter check is given, only components not containing check are computed |
---|
[fab80c2] | 1672 | EXAMPLE: example zeroMod; shows an example |
---|
| 1673 | " |
---|
| 1674 | { |
---|
| 1675 | ideal ann; module @M, check; int checked; |
---|
| 1676 | (ann, check, @M, checked)=getData(@N, #); |
---|
| 1677 | |
---|
| 1678 | list fac = factorize(ann[1],2); |
---|
| 1679 | if(size(fac[2])==1) |
---|
| 1680 | { |
---|
| 1681 | return(list(list(@N,ann))); |
---|
| 1682 | } |
---|
| 1683 | // comp of the primary modules, the primary ideals and the primes |
---|
| 1684 | poly @h; |
---|
| 1685 | module primod; |
---|
| 1686 | list result; |
---|
| 1687 | int @k; |
---|
| 1688 | for (@k=1;@k<=size(fac[1]);@k++) |
---|
| 1689 | { |
---|
| 1690 | @h=ann[1]/(fac[1][@k]^fac[2][@k]); |
---|
| 1691 | result =result+list(list(std(quotient(@N,@h)), std(ann,fac[1][@k]))); |
---|
| 1692 | } |
---|
| 1693 | return(result); |
---|
| 1694 | } |
---|
| 1695 | example |
---|
| 1696 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 1697 | ring r=0,z,dp; |
---|
| 1698 | module N=z*gen(1),(z-1)*gen(2),(z+1)*gen(3); |
---|
| 1699 | list l=dec1var(N); |
---|
| 1700 | l; |
---|
| 1701 | } |
---|
| 1702 | |
---|
| 1703 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1704 | // zeroOpt(N[,check[, ann]]) |
---|
| 1705 | // a faster version of zeroMod |
---|
| 1706 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1707 | |
---|
| 1708 | proc zeroOpt (module @N, list #) |
---|
| 1709 | "USAGE: zeroOpt (N[, check]); zero-dimensional module N[, module check] |
---|
| 1710 | RETURN: list l |
---|
| 1711 | the minimal primary decomposition of a zero-dimensional module N, |
---|
| 1712 | computed by a generalized and optimized version of the algorithm |
---|
[53ec64] | 1713 | of Gianni, Trager and Zacharias |
---|
[fab80c2] | 1714 | NOTE: if the parameter check is given, only components |
---|
| 1715 | not containing check are computed |
---|
| 1716 | EXAMPLE: example zeroMod; shows an example |
---|
| 1717 | " |
---|
| 1718 | { |
---|
| 1719 | @N=interred(@N); |
---|
| 1720 | attrib(@N,"isSB",1); |
---|
| 1721 | |
---|
| 1722 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1723 | // the module check is needed to compute a minimal decomposition |
---|
| 1724 | // components containing check are ignored |
---|
| 1725 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1726 | ideal ann; module @M, check; int checked; |
---|
| 1727 | (ann, check, @M, checked)=getData(@N, #); |
---|
| 1728 | |
---|
| 1729 | if (checked) |
---|
| 1730 | { |
---|
| 1731 | return(list()); |
---|
| 1732 | } |
---|
| 1733 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1734 | // the ordering is changed to lex |
---|
| 1735 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1736 | def BAS = basering; |
---|
[daa83b] | 1737 | def @R=changeord("C,lp"); |
---|
| 1738 | setring @R; |
---|
[fab80c2] | 1739 | module @N=std(imap(BAS,@N)); |
---|
| 1740 | module @M=imap(BAS,@M); |
---|
| 1741 | ideal ann=std(imap(BAS,ann)); |
---|
| 1742 | module check=imap(BAS,check); |
---|
| 1743 | |
---|
| 1744 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1745 | if(vdim(ann)==deg(ann[1])) // if ann ist prime |
---|
| 1746 | { |
---|
[409020] | 1747 | list fact=factorize(ann[1],2); |
---|
[fab80c2] | 1748 | int k;ideal id;list result; |
---|
| 1749 | module hilf; |
---|
| 1750 | for(k=1;k<=size(fact[1]);k++) |
---|
| 1751 | { |
---|
| 1752 | id=ann; |
---|
| 1753 | hilf=std(@N+(fact[1][k]^fact[2][k])*@M); |
---|
| 1754 | id[1]=fact[1][k]; |
---|
| 1755 | if(size(NF(check,hilf,1))>0) |
---|
| 1756 | { |
---|
| 1757 | result=result+list(list(hilf,interred(id))); |
---|
| 1758 | } |
---|
| 1759 | } |
---|
| 1760 | setring BAS; |
---|
| 1761 | list result=imap(@R, result); |
---|
| 1762 | kill @R; |
---|
| 1763 | return(result); |
---|
| 1764 | |
---|
| 1765 | } |
---|
| 1766 | |
---|
| 1767 | |
---|
| 1768 | if (homog(ann)) // if ann is homogeneous |
---|
| 1769 | { // then radical(ann)=maxideal(1) |
---|
| 1770 | if(size(NF(check,@N,1))>0) |
---|
| 1771 | { |
---|
| 1772 | setring BAS; |
---|
| 1773 | kill @R; |
---|
| 1774 | return (list(list(@N,maxideal(1)))); |
---|
| 1775 | } |
---|
| 1776 | else |
---|
| 1777 | { |
---|
| 1778 | setring BAS; |
---|
| 1779 | kill @R; |
---|
| 1780 | return(list()); |
---|
| 1781 | } |
---|
| 1782 | } |
---|
| 1783 | |
---|
| 1784 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1785 | // the random coordnate change and its inverse |
---|
| 1786 | // furthermore the module is simplified using |
---|
| 1787 | // N=N/(a*x_i+b)+(a*x_i+b)*M, for a*x_i+b in ann |
---|
| 1788 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1789 | int nVar=nvars(@R); |
---|
| 1790 | int @k, @k1; |
---|
| 1791 | list result, rest; |
---|
| 1792 | ideal primary, prim; |
---|
| 1793 | module primmod; |
---|
| 1794 | ideal fried; |
---|
| 1795 | intvec optionsVec=option(get); |
---|
| 1796 | option(redSB); |
---|
| 1797 | ideal prepMap = randomLast(100); |
---|
| 1798 | ideal prepInv=maxideal(1); |
---|
| 1799 | for(@k=1;@k<=size(ann);@k++) |
---|
| 1800 | { |
---|
| 1801 | if(deg(lead(ann[@k]))==1) |
---|
| 1802 | { |
---|
| 1803 | fried[size(fried)+1]=ann[@k]; |
---|
| 1804 | } |
---|
| 1805 | } |
---|
| 1806 | if(size(fried)==nVar) |
---|
| 1807 | { |
---|
| 1808 | return(list(list(@N, ann))); |
---|
| 1809 | } |
---|
| 1810 | if(size(fried)>0) |
---|
| 1811 | { |
---|
| 1812 | for(@k=1;@k<@k1;@k1++) |
---|
| 1813 | { |
---|
| 1814 | for(@k1=1;@k1<=size(fried);@k1++) |
---|
| 1815 | { |
---|
| 1816 | if(leadmonom(fried[@k1])==var(@k)) |
---|
| 1817 | { |
---|
| 1818 | prepMap[@k]=var(@k)+((1/leadcoef(fried[@k1]))*(var(@k)-fried[@k1])); |
---|
| 1819 | prepMap[nVar]=subst(prepMap[nVar],var(@k),0); |
---|
| 1820 | prepInv[@k]=fried[@k1]; |
---|
| 1821 | } |
---|
| 1822 | } |
---|
| 1823 | } |
---|
| 1824 | } |
---|
| 1825 | map phi=@R,prepMap; |
---|
| 1826 | prepInv[nVar]=2*var(nVar)-prepMap[nVar]; |
---|
| 1827 | map invphi=@R,prepInv; |
---|
| 1828 | ideal @j=std(phi(ann)); // factorization of the 1st elt. in Ann(@N) |
---|
| 1829 | list fac = factorize(@j[1],2); |
---|
| 1830 | |
---|
| 1831 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1832 | // Case: 1st element irreducible |
---|
| 1833 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1834 | if(size(fac[2])==1) |
---|
| 1835 | { |
---|
| 1836 | prim=primaryTest(@j,fac[1][1]); |
---|
| 1837 | prim=invphi(prim); |
---|
| 1838 | setring BAS; |
---|
| 1839 | @N=std(@N); |
---|
| 1840 | ideal prim =imap(@R,prim); |
---|
| 1841 | kill @R; |
---|
| 1842 | if(prim!=0) |
---|
| 1843 | { |
---|
| 1844 | return(list(list(@N,prim))); |
---|
| 1845 | } |
---|
| 1846 | else |
---|
| 1847 | { |
---|
| 1848 | return(zeroOpt(@N,check)); |
---|
| 1849 | } |
---|
| 1850 | } |
---|
| 1851 | |
---|
| 1852 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1853 | // Computation of the - hopefully primary - modules |
---|
| 1854 | // their annihilators and associated primes |
---|
| 1855 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1856 | poly @p, @h; |
---|
| 1857 | for (@k=1;@k<=size(fac[1]);@k++) |
---|
| 1858 | { |
---|
| 1859 | @p=fac[1][@k]^fac[2][@k]; |
---|
| 1860 | @h=@j[1]/@p; |
---|
| 1861 | primmod=std(quotient(phi(@N),@h)); |
---|
| 1862 | check=phi(check); |
---|
| 1863 | if (size(NF(check,primmod,1))>0) |
---|
| 1864 | { |
---|
| 1865 | primary=std(@j+@p); |
---|
| 1866 | // test if the modules were primary and in general position |
---|
| 1867 | prim=primTest(primary,fac[1][@k]); |
---|
| 1868 | if(size(prim)==0) |
---|
| 1869 | { |
---|
| 1870 | prim=primaryTest(primary,fac[1][@k]); |
---|
| 1871 | } |
---|
| 1872 | if (prim==0) |
---|
| 1873 | { |
---|
| 1874 | rest[size(rest)+1]=invphi(primmod); |
---|
| 1875 | } |
---|
| 1876 | else |
---|
| 1877 | { |
---|
| 1878 | result[size(result)+1]=list(std(invphi(primmod)),std(invphi(prim))); |
---|
| 1879 | } |
---|
| 1880 | } |
---|
| 1881 | } |
---|
| 1882 | |
---|
| 1883 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1884 | // the bad cases |
---|
| 1885 | //////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1886 | for (@k=1; @k<=size(rest);@k++) |
---|
| 1887 | { |
---|
| 1888 | result = result+zeroOpt(rest[@k],check); |
---|
| 1889 | } |
---|
| 1890 | option (set,optionsVec); |
---|
| 1891 | if(size(result)==0) |
---|
| 1892 | { |
---|
| 1893 | setring BAS; |
---|
| 1894 | kill @R; |
---|
| 1895 | return(list()); |
---|
| 1896 | } |
---|
| 1897 | setring BAS; |
---|
| 1898 | list result=imap(@R, result); |
---|
| 1899 | kill @R; |
---|
| 1900 | |
---|
| 1901 | return(result); |
---|
| 1902 | } |
---|
| 1903 | example |
---|
| 1904 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 1905 | ring r=0,z,dp; |
---|
| 1906 | module N=z*gen(1),(z-1)*gen(2),(z+1)*gen(3); |
---|
| 1907 | list l=zeroOpt(N); |
---|
| 1908 | l; |
---|
| 1909 | } |
---|
| 1910 | |
---|
| 1911 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1912 | // clrSBmod(N) |
---|
| 1913 | // Generalization of clearSB from primdec.lib |
---|
| 1914 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1915 | |
---|
[53ec64] | 1916 | static proc clrSBmod (module @N) |
---|
[fab80c2] | 1917 | "USAGE: clrSBmod(N); N module which is SB ordered by monomial ordering |
---|
| 1918 | RETURN: module = minimal SB |
---|
| 1919 | EXAMPLE: example clrSBmod; shows an example |
---|
| 1920 | " |
---|
| 1921 | { |
---|
| 1922 | int @k,@j; |
---|
| 1923 | list Nsizes; |
---|
| 1924 | for (@k=1;@k<=size(@N);@k++) |
---|
| 1925 | { |
---|
| 1926 | Nsizes[@k]=size(@N[@k]); |
---|
| 1927 | } |
---|
| 1928 | module leadVec; |
---|
| 1929 | int szN=size(@N); |
---|
| 1930 | @j=0; |
---|
| 1931 | while(@j<szN-1) |
---|
| 1932 | { |
---|
| 1933 | @j++; |
---|
| 1934 | if(deg(@N[@j])>0) |
---|
| 1935 | { |
---|
| 1936 | leadVec=lead(@N[@j]); |
---|
| 1937 | attrib(leadVec,"isSB",1); |
---|
| 1938 | for(@k=@j+1;@k<=szN;@k++) |
---|
| 1939 | { |
---|
| 1940 | if(size(NF(lead(@N[@k]),leadVec,1))==0) |
---|
| 1941 | { |
---|
| 1942 | if((leadexp(leadVec[1])!=leadexp(@N[@k]))||(Nsizes[@j]<=Nsizes[@k])) |
---|
| 1943 | { |
---|
| 1944 | @N[@k]=0; |
---|
| 1945 | } |
---|
| 1946 | else |
---|
| 1947 | { |
---|
| 1948 | @N[@j]=0; |
---|
| 1949 | break; |
---|
| 1950 | } |
---|
| 1951 | } |
---|
| 1952 | } |
---|
| 1953 | } |
---|
| 1954 | } |
---|
| 1955 | return(simplify(@N,2)); |
---|
| 1956 | } |
---|
| 1957 | example |
---|
| 1958 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 1959 | ring r = (0,a,b),(x,y,z),dp; |
---|
| 1960 | module N1=ax2+y,a2x+y,bx; |
---|
| 1961 | module N2=clrSBmod(N1); |
---|
| 1962 | N2; |
---|
| 1963 | } |
---|
| 1964 | |
---|
| 1965 | |
---|
| 1966 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1967 | // minSatMod(N, id) |
---|
| 1968 | // Generalization of minsat from primdec.lib |
---|
| 1969 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 1970 | |
---|
[53ec64] | 1971 | static proc minSatMod(module Nnew, ideal @h) |
---|
[fab80c2] | 1972 | "USAGE: minSatMod(N, I); module N, ideal I |
---|
| 1973 | RETURN: list with 2 elements: |
---|
| 1974 | [1]=sat(N,product(I))[1], |
---|
| 1975 | [2]=p, the polynomial of minimal degree s.th. [1]=quotient(N,p) |
---|
| 1976 | EXAMPLE: example minSatMod; shows an example |
---|
| 1977 | " |
---|
| 1978 | { |
---|
| 1979 | int @i,@k; |
---|
| 1980 | poly @f=1; |
---|
| 1981 | module Nold; |
---|
| 1982 | ideal fac; |
---|
| 1983 | list quotM,@l; |
---|
| 1984 | |
---|
| 1985 | for(@i=1;@i<=ncols(@h);@i++) |
---|
| 1986 | { |
---|
| 1987 | if(deg(@h[@i])>0) |
---|
| 1988 | { |
---|
| 1989 | fac=fac+factorize(@h[@i],1); |
---|
| 1990 | } |
---|
| 1991 | } |
---|
| 1992 | fac=simplify(fac,4); |
---|
| 1993 | if(size(fac)==0) |
---|
| 1994 | { |
---|
| 1995 | @l=Nnew,1; |
---|
| 1996 | return(@l); |
---|
| 1997 | } |
---|
| 1998 | fac=sort(fac)[1]; |
---|
| 1999 | for(@i=1;@i<=size(fac);@i++) |
---|
| 2000 | { |
---|
| 2001 | @f=@f*fac[@i]; |
---|
| 2002 | } |
---|
| 2003 | quotM[1]=Nnew; |
---|
| 2004 | quotM[2]=fac; |
---|
| 2005 | quotM[3]=@f; |
---|
| 2006 | @f=1; |
---|
| 2007 | while(specialModulesEqual(Nold,quotM[1])==0) |
---|
| 2008 | { |
---|
| 2009 | if(@k>0) |
---|
| 2010 | { |
---|
| 2011 | @f=@f*quotM[3]; |
---|
| 2012 | } |
---|
| 2013 | Nold=quotM[1]; |
---|
| 2014 | quotM=quotMinMod(quotM); |
---|
| 2015 | @k++; |
---|
| 2016 | } |
---|
| 2017 | @l=quotM[1],@f; |
---|
| 2018 | return(@l); |
---|
| 2019 | } |
---|
| 2020 | example |
---|
| 2021 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 2022 | ring r = 0,(x,y,z),dp; |
---|
| 2023 | module N=xy*gen(1); |
---|
| 2024 | ideal h=yz,z2; |
---|
| 2025 | list l=minSatMod(N,h); |
---|
| 2026 | l; |
---|
| 2027 | } |
---|
| 2028 | |
---|
| 2029 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 2030 | // quotMinMod(N, fac, f) |
---|
| 2031 | // Generalization of quotMin from primdec.lib |
---|
| 2032 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 2033 | |
---|
| 2034 | proc quotMinMod(list tsil) |
---|
| 2035 | { |
---|
| 2036 | int @i,@j,action; |
---|
| 2037 | module verg; |
---|
| 2038 | list @l; |
---|
| 2039 | poly @g; |
---|
| 2040 | intvec optionsVec; |
---|
| 2041 | |
---|
| 2042 | module laedi=tsil[1]; |
---|
| 2043 | ideal fac=tsil[2]; |
---|
| 2044 | poly @f=tsil[3]; |
---|
| 2045 | optionsVec=option(get); |
---|
| 2046 | option(returnSB); |
---|
| 2047 | module star=quotient(laedi,@f); |
---|
| 2048 | option(set,optionsVec); |
---|
| 2049 | if(specialModulesEqual(star,laedi)) |
---|
| 2050 | { |
---|
| 2051 | @l=star,fac,@f; |
---|
| 2052 | return(@l); |
---|
| 2053 | } |
---|
| 2054 | |
---|
| 2055 | action=1; |
---|
| 2056 | while(action==1) |
---|
| 2057 | { |
---|
| 2058 | if(size(fac)==1) |
---|
| 2059 | { |
---|
| 2060 | action=0; |
---|
| 2061 | break; |
---|
| 2062 | } |
---|
| 2063 | for(@i=1;@i<=size(fac);@i++) |
---|
| 2064 | { |
---|
| 2065 | @g=1; |
---|
| 2066 | verg=laedi; |
---|
| 2067 | |
---|
| 2068 | for(@j=1;@j<=size(fac);@j++) |
---|
| 2069 | { |
---|
| 2070 | if(@i!=@j) |
---|
| 2071 | { |
---|
| 2072 | @g=@g*fac[@j]; |
---|
| 2073 | } |
---|
| 2074 | } |
---|
| 2075 | optionsVec=option(get); |
---|
| 2076 | option(returnSB); |
---|
| 2077 | verg=quotient(laedi,@g); |
---|
| 2078 | option(set,optionsVec); |
---|
| 2079 | if(specialModulesEqual(verg,star)==1) |
---|
| 2080 | { |
---|
| 2081 | @f=@g; |
---|
| 2082 | fac[@i]=0; |
---|
| 2083 | fac=simplify(fac,2); |
---|
| 2084 | break; |
---|
| 2085 | } |
---|
| 2086 | |
---|
| 2087 | if(@i==size(fac)) |
---|
| 2088 | { |
---|
| 2089 | action=0; |
---|
| 2090 | } |
---|
| 2091 | } |
---|
| 2092 | } |
---|
| 2093 | @l=star,fac,@f; |
---|
| 2094 | return(@l); |
---|
| 2095 | } |
---|
| 2096 | |
---|
| 2097 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 2098 | // specialModulesEqual(N1,N2) |
---|
| 2099 | // Generalization of specialIdealsEqual from primdec.lib |
---|
| 2100 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 2101 | |
---|
[53ec64] | 2102 | static proc specialModulesEqual( module k1, module k2) |
---|
[fab80c2] | 2103 | "USAGE: specialModulesEqual(N1, N2) N1, N2 standard bases of modules, |
---|
| 2104 | s.th. N1 is contained in N2 or vice versa |
---|
| 2105 | RETURN: int i |
---|
| 2106 | if (N1==N2) then i=1 |
---|
| 2107 | else i=0 |
---|
| 2108 | EXAMPLE: example specialModulesEqual; shows an example |
---|
| 2109 | " |
---|
| 2110 | { |
---|
| 2111 | int @j; |
---|
| 2112 | |
---|
| 2113 | if(size(k1)==size(k2)) |
---|
| 2114 | { |
---|
| 2115 | for(@j=1;@j<=size(k1);@j++) |
---|
| 2116 | { |
---|
| 2117 | if(leadexp(k1[@j])!=leadexp(k2[@j])) |
---|
| 2118 | { |
---|
| 2119 | return(0); |
---|
| 2120 | } |
---|
| 2121 | } |
---|
| 2122 | return(1); |
---|
| 2123 | } |
---|
| 2124 | return(0); |
---|
| 2125 | } |
---|
| 2126 | example |
---|
| 2127 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 2128 | ring r = 0,(x,y,z),dp; |
---|
| 2129 | module N1=x*freemodule(2); |
---|
| 2130 | module N2=xy*freemodule(2); |
---|
| 2131 | int i=specialModulesEqual(N1,N2); |
---|
| 2132 | i; |
---|
| 2133 | |
---|
| 2134 | N2=N1; |
---|
| 2135 | i=specialModulesEqual(N1,N2); |
---|
| 2136 | i; |
---|
| 2137 | } |
---|
| 2138 | |
---|
| 2139 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 2140 | // sat2mod(N,i) |
---|
| 2141 | // Generalization of sat2 from primdec.lib |
---|
| 2142 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 2143 | |
---|
| 2144 | proc sat2mod (module id, ideal h1) |
---|
| 2145 | "USAGE: sat2mod(id,j); id ideal, j polynomial |
---|
| 2146 | RETURN: saturation of id with respect to j (= union_(k=1...) of id:j^k) |
---|
| 2147 | NOTE: result is a std basis in the basering |
---|
| 2148 | " |
---|
| 2149 | { |
---|
| 2150 | int @k,@i; |
---|
| 2151 | def @P= basering; |
---|
| 2152 | if(ordstr(basering)[1,2]!="dp") |
---|
| 2153 | { |
---|
| 2154 | execute("ring @Phelp=("+charstr(@P)+"),("+varstr(@P)+"),(C,dp);"); |
---|
| 2155 | module inew=std(imap(@P,id)); |
---|
| 2156 | ideal @h=imap(@P,h1); |
---|
| 2157 | } |
---|
| 2158 | else |
---|
| 2159 | { |
---|
| 2160 | ideal @h=h1; |
---|
| 2161 | module inew=std(id); |
---|
| 2162 | } |
---|
| 2163 | ideal fac; |
---|
| 2164 | |
---|
| 2165 | for(@i=1;@i<=ncols(@h);@i++) |
---|
| 2166 | { |
---|
| 2167 | if(deg(@h[@i])>0) |
---|
| 2168 | { |
---|
| 2169 | fac=fac+factorize(@h[@i],1); |
---|
| 2170 | } |
---|
| 2171 | } |
---|
| 2172 | fac=simplify(fac,4); |
---|
| 2173 | poly @f=1; |
---|
| 2174 | if(deg(fac[1])>0) |
---|
| 2175 | { |
---|
| 2176 | module iold; |
---|
| 2177 | |
---|
| 2178 | for(@i=1;@i<=size(fac);@i++) |
---|
| 2179 | { |
---|
| 2180 | @f=@f*fac[@i]; |
---|
| 2181 | } |
---|
| 2182 | intvec optionsVec=option(get) |
---|
| 2183 | option(returnSB); |
---|
| 2184 | while(specialModulesEqual(iold,inew)==0 ) |
---|
| 2185 | { |
---|
| 2186 | iold=inew; |
---|
| 2187 | if(deg(iold[size(iold)])!=1) |
---|
| 2188 | { |
---|
| 2189 | inew=quotient(iold,@f); |
---|
| 2190 | } |
---|
| 2191 | else |
---|
| 2192 | { |
---|
| 2193 | inew=iold; |
---|
| 2194 | } |
---|
| 2195 | @k++; |
---|
| 2196 | } |
---|
| 2197 | option(set,optionsVec); |
---|
| 2198 | @k--; |
---|
| 2199 | } |
---|
| 2200 | |
---|
| 2201 | if(ordstr(@P)[1,2]!="dp") |
---|
| 2202 | { |
---|
| 2203 | setring @P; |
---|
| 2204 | module inew=std(imap(@Phelp,inew)); |
---|
| 2205 | poly @f=imap(@Phelp,@f); |
---|
| 2206 | } |
---|
| 2207 | list L =inew,@f^@k; |
---|
| 2208 | return (L); |
---|
| 2209 | } |
---|
| 2210 | |
---|
| 2211 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 2212 | // stdModulesEqual(N1,N2) |
---|
| 2213 | // Generalization of stdIdealsEqual from primdec.lib |
---|
| 2214 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 2215 | |
---|
[53ec64] | 2216 | static proc stdModulesEqual(module k1, module k2) |
---|
[fab80c2] | 2217 | "USAGE: stdModulesEqual(N1, N2) N1, N2 standard bases of modules, |
---|
| 2218 | RETURN: int i |
---|
| 2219 | if (N1==N2) then i=1 |
---|
| 2220 | else i=0 |
---|
| 2221 | EXAMPLE: example stdModulesEqual; shows an example |
---|
| 2222 | " |
---|
| 2223 | { |
---|
| 2224 | int @j; |
---|
| 2225 | |
---|
| 2226 | if(size(k1)==size(k2)) |
---|
| 2227 | { |
---|
| 2228 | for(@j=1;@j<=size(k1);@j++) |
---|
| 2229 | { |
---|
| 2230 | if(leadexp(k1[@j])!=leadexp(k2[@j])) |
---|
| 2231 | { |
---|
| 2232 | return(0); |
---|
| 2233 | } |
---|
| 2234 | } |
---|
| 2235 | attrib(k2,"isSB",1); |
---|
| 2236 | if(size(reduce(k1,k2,1))==0) |
---|
| 2237 | { |
---|
| 2238 | return(1); |
---|
| 2239 | } |
---|
| 2240 | } |
---|
| 2241 | return(0); |
---|
| 2242 | } |
---|
| 2243 | example |
---|
| 2244 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 2245 | ring r = 0,(x,y,z),dp; |
---|
| 2246 | module N1=x*freemodule(2); |
---|
| 2247 | module N2=xy*freemodule(2); |
---|
| 2248 | int i=stdModulesEqual(N1,N2); |
---|
| 2249 | i; |
---|
| 2250 | |
---|
| 2251 | N2=N1; |
---|
| 2252 | i=stdModulesEqual(N1,N2); |
---|
| 2253 | i; |
---|
| 2254 | } |
---|
| 2255 | |
---|
| 2256 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 2257 | // ModulesEqual(N1,N2) |
---|
| 2258 | // Generalization of IdealsEqual from primdec.lib |
---|
| 2259 | ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// |
---|
| 2260 | |
---|
[53ec64] | 2261 | static proc modulesEqual( module @k, module @j) |
---|
[fab80c2] | 2262 | "USAGE: modulesEqual(N1, N2) N1, N2 modules, |
---|
| 2263 | RETURN: int i |
---|
| 2264 | if (N1==N2) then i=1 |
---|
| 2265 | else i=0 |
---|
| 2266 | EXAMPLE: example modulesEqual; shows an example |
---|
| 2267 | " |
---|
| 2268 | { |
---|
| 2269 | return(stdModulesEqual(std(@k),std(@j))); |
---|
| 2270 | } |
---|
| 2271 | example |
---|
| 2272 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 2273 | ring r = 0,(x,y,z),dp; |
---|
| 2274 | module N1=x*freemodule(2); |
---|
| 2275 | module N2=xy*freemodule(2); |
---|
| 2276 | int i=stdModulesEqual(N1,N2); |
---|
| 2277 | i; |
---|
| 2278 | |
---|
| 2279 | N2=N1; |
---|
| 2280 | i=modulesEqual(N1,N2); |
---|
| 2281 | i; |
---|
| 2282 | } |
---|
| 2283 | example |
---|
| 2284 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 2285 | ring r = 0,(x,y,z),dp; |
---|
| 2286 | module N1=x*freemodule(2); |
---|
| 2287 | module N2=xy*freemodule(2); |
---|
| 2288 | int i=modulesEqual(N1,N2); |
---|
| 2289 | i; |
---|
| 2290 | |
---|
| 2291 | N2=N1; |
---|
| 2292 | i=modulesEqual(N1,N2); |
---|
| 2293 | i; |
---|
| 2294 | } |
---|
| 2295 | |
---|
[53ec64] | 2296 | static proc getData (module @N, list oldData, list #) |
---|
[fab80c2] | 2297 | "USAGE: getData(N, l[, noCheck]); module N, list l[, int noCheck] |
---|
| 2298 | RETURN: (ann, check, M, checked) |
---|
| 2299 | ideal ann, module check, M, int checked |
---|
| 2300 | |
---|
| 2301 | if l[1] is contained in N [and noCheck is not given] |
---|
| 2302 | then checked=1, ann=ideal(0), check=0, M=0; |
---|
| 2303 | else checked=0, M=freemodule(nrows(N)); check=l[1] |
---|
| 2304 | (resp. check=M if l is an empty list) and |
---|
| 2305 | if size(l)>1 then ann=l[2] else ann is the annihilator of M/N. |
---|
| 2306 | |
---|
| 2307 | NOTE: ann is a std basis in the basering |
---|
| 2308 | EXAMPLE: example getData; shows an example |
---|
| 2309 | " |
---|
| 2310 | { |
---|
| 2311 | if (size(oldData)>0) |
---|
| 2312 | { |
---|
| 2313 | if ((size(#)==0)&&(size(NF(oldData[1],@N,1))==0)) |
---|
| 2314 | { |
---|
| 2315 | return(ideal(0), 0 , 0, 1); |
---|
| 2316 | } |
---|
| 2317 | module @M=freemodule(nrows(@N)); |
---|
| 2318 | if (size(oldData)>1) |
---|
| 2319 | { |
---|
| 2320 | ideal ann=oldData[2]; |
---|
| 2321 | attrib(ann,"isSB",1); |
---|
| 2322 | } |
---|
| 2323 | else |
---|
| 2324 | { |
---|
| 2325 | ideal ann=annil(@N); |
---|
| 2326 | } |
---|
| 2327 | } |
---|
| 2328 | else |
---|
| 2329 | { |
---|
| 2330 | module @M=freemodule(nrows(@N)); |
---|
| 2331 | oldData[1]=@M; |
---|
| 2332 | ideal ann=annil(@N); |
---|
| 2333 | } |
---|
| 2334 | return(ann, oldData[1], @M, 0); |
---|
| 2335 | } |
---|
| 2336 | example |
---|
| 2337 | { "EXAMPLE:"; echo = 2; |
---|
| 2338 | ring r = 0,(x,y,z),lp; |
---|
| 2339 | module N=x*gen(1),y*gen(2); |
---|
| 2340 | N=std(N); |
---|
| 2341 | ideal ann; module check, M; int checked; list l; |
---|
| 2342 | (ann, check, M, checked)=getData(N,l); |
---|
| 2343 | ann; check; M; checked; |
---|
| 2344 | |
---|
| 2345 | l=list(check,ann); |
---|
| 2346 | (ann, check, M, checked)=getData(N,l); |
---|
| 2347 | ann; check; M; checked; |
---|
| 2348 | |
---|
| 2349 | l=list(N); |
---|
| 2350 | (ann, check, M, checked)=getData(N,l); |
---|
| 2351 | ann; check; M; checked; |
---|
| 2352 | } |
---|