source:git/Singular/LIB/primdecint.lib@380a17b

fieker-DuValspielwiese
Last change on this file since 380a17b was 380a17b, checked in by Hans Schoenemann <hannes@…>, 11 years ago
fix: new version numbers for libs
• Property mode set to `100644`
File size: 38.7 KB
Line
1//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
2version="version primdecint.lib 4.0.0.0 Jun_2013 ";
3category = "Commutative Algebra";
4info="
5LIBRARY:  primdecint.lib   primary decomposition of an ideal in the polynomial
6                           ring over the integers
7
8AUTHORS:  G. Pfister       pfister@mathematik.uni-kl.de
10@*        S. Steidel       steidel@mathematik.uni-kl.de
11
12OVERVIEW:
13
14  A library for computing the primary decomposition of an ideal in the
15  polynomial ring over the integers, Z[x_1,...,x_n].
16  The first procedure 'primdecZ' can be used in parallel.
17
18PROCEDURES:
19 primdecZ(I);       compute the primary decomposition of I
20 minAssZ(I);        compute the minimal associated primes of I
22 heightZ(I);        compute the height of I
23 equidimZ(I);       compute the equidimensional part of I
24 intersectZ(I,J)    compute the intersection of I and J
25";
26
27LIB "primdec.lib";
28
29////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
30
31proc primdecZ(ideal I, list #)
32"USAGE:  primdecZ(I[, n]); I ideal, n integer (number of processors)
33NOTE:    If size(#) > 0, then #[1] is the number of available processors for
34         the computation.
35RETURN:  a list pr of primary ideals and their associated primes:
36@format
37   pr[i][1]   the i-th primary component,
38   pr[i][2]   the i-th prime component.
39@end format
40EXAMPLE: example primdecZ; shows an example
41"
42{
43   if(size(I)==0){return(list(ideal(0),ideal(0)));}
44
45//--------------------  Initialize optional parameters  ------------------------
46   if(size(#) > 0)
47   {
48      if(size(#) == 1)
49      {
50         int n = #[1];
51         ideal TES = 1;
52      }
53      if(size(#) == 2)
54      {
55         int n = #[1];
56         ideal TES = #[2];
57      }
58   }
59   else
60   {
61      int n = 1;
62      ideal TES = 1;
63   }
64
65
66   if(deg(I[1]) == 0)
67   {
68      ideal J = I;
69   }
70   else
71   {
72      ideal J = stdZ(I);
73   }
74
75   ideal K,N;
76   def R=basering;
77   number s;
78   list rl=ringlist(R);
80   list P,B,IS;
81   ideal Q,JJ;
82   ideal TQ=1;
83   if(deg(J[1])==0)
84   {
85      //=== I intersected with Z is not zero
86      list rp=rl;
87      rp[1]=0;
88      //=== q is generator of I intersect Z
90      def Rhelp=ring(rp);
91      setring Rhelp;
92      number q=imap(R,q);
93      //=== computes the primes occuring in a generator of I intersect Z
94
95      list L = primefactors(q);
96
97      list A;
98      ideal J = imap(R,J);
99
100      for(j=1;j<=size(L[2]);j++)
101      {
102         if(L[2][j] > 1){ ex = 1; break; }
103      }
104
105      if(printlevel >= 10)
106      {
107         "n = "+string(n);
108         "size(L[2]) = "+string(size(L[2]));
109      }
110
111      int RT = rtimer;
112      if((n > 1) && (n < size(L[2])))
113      {
114
115//-----  Create n1 links l(1),...,l(n1), open all of them and compute  ---------
116//-----  standard basis for the primes L[1][2],...,L[1][n + 1].        ---------
117
118         for(i = 1; i <= n; i++)
119         {
120            p=int(L[1][i + 1]);
121            nu=int(L[2][i + 1]);
124            open(l(i));
125            write(l(i), quote(modp(eval(J), eval(p), eval(nu))));
126         }
127
128         p = int(L[1][1]);
129         nu = int(L[2][1]);
130         int t = timer;
131         A[size(A)+1] = modp(J, p, nu);
132         t = timer - t;
133         if(t > 60) { t = 60; }
134         int i_sleep = system("sh", "sleep "+string(t));
135
136         j = n + 2;
137
138         while(j <= size(L[2]) + 1)
139         {
140            for(i = 1; i <= n; i++)
141            {
144               {
145                  //=== read the result from l(i)
147
148                  if(j <= size(L[2]))
149                  {
150                     p=int(L[1][j]);
151                     nu=int(L[2][j]);
152                     write(l(i), quote(modp(eval(J), eval(p), eval(nu))));
153                     j++;
154                  }
155                  else
156                  {
158                     close(l(i));
159                  }
160               }
161            }
164            {
165               j++;
166            }
167            i_sleep = system("sh", "sleep "+string(t));
168         }
169
170      }
171      else
172      {
173         for(j=1;j<=size(L[2]);j++)
174         {
175            A[size(A)+1] = modp(J, L[1][j], L[2][j]);
176         }
177      }
178
179      setring R;
180      list A = imap(Rhelp,A);
181      if(printlevel >= 10)
182      {
183         "A is computed in "+string(rtimer - RT)+" seconds.";
184      }
185      for(i=1;i<=size(A);i++)
186      {
187      //=== computes for all p in L the minimal associated primes of
188      //=== IZ/p[variables]
189         p = int(A[i][2]);
190         if(printlevel >= 10)
191         {
192            "p = "+string(p);
193            RT = rtimer;
194         }
195         nu = int(A[i][3]);
196         //=== maximal power of p dividing q, generator of I intersect Z
197         s = p^nu;
198
199         rp[1] = p;
200         def S = ring(rp);
201         setring S;
202         ideal J = imap(R,J);
203         setring R;
204
205         if(nu>1)
206         {
207            //=== p is of multiplicity > 1 in q
208
209            B = A[i][1];
210            for(j=1;j<=size(B);j++)
211            {
212               //=== the minimal associated primes of I
213               K=B[j],p;
214               K=stdZ(K);
215               B[j]=K;
216            }
217            for(j=1;j<=size(B);j++)
218            {
219               K=B[j];
220               //=== compute maximal independent set for KZ/p[variables]
221
222               setring S;
223               J=imap(R,K);
224               J=simplify(J,2);
225               attrib(J,"isSB",1);
226               IS=maxIndependSet(J);
227               setring R;
228               //=== computing the pseudo primary and extract it
229               N=J,s;
230               N=stdZ(N);
231               Q=extractZ(N,j,IS,B);
232               //=== test for useless primaries
233               if(size(reduce(TES,Q))>0)
234               {
235                  TQ=intersectZ(TQ,Q);
236                  //TQ=intersect(TQ,Q);
237                  P[size(P)+1]=list(Q,K);
238               }
239            }
240         }
241         else
242         {
243            //=== p is of multiplicity 1 in q we can compute the
244            //=== primary decomposition directly
245
246            B = A[i][1];
247            for(j=1;j<=size(B);j++)
248            {
249               K=B[j][2],p;
250               K=stdZ(K);
251               Q=B[j][1],p;
252               Q=stdZ(Q);
253               if(size(reduce(TES,Q))>0)
254               {
255                  //TQ=intersectZ(TQ,Q);
256                  P[size(P)+1]=list(Q,K);
257               }
258            }
259            if(ex)
260            {
261               JJ=imap(S,J);
262               JJ=JJ,p;
263               JJ=stdZ(JJ);
264               TQ=intersectZ(TQ,JJ);
265               //TQ=intersect(TQ,JJ);
266            }
267         }
268         kill S;
269         if(printlevel >= 10)
270         {
271            string(p)+" done in "+string(rtimer - RT)+" seconds.";
272         }
273      }
274
275      setring R;
276      if(!ex){return(P);}
277      J=stdZ(J);
278      TQ=intersectZ(TQ,TES);
279      //TQ=intersect(TQ,TES);
280      if(size(reduce(TQ,J))!=0)
281      {
282         //=== taking care about embedded components
283         K=stdZ(quotientZ(J,TQ));
284         ideal W=K;
285         m++;
286         while(size(reduce(intersectZ(W,TQ),J))!=0)
287         //while(size(reduce(intersect(W,TQ),J))!=0)
288         {
291            m++;
292         }
293         list E=primdecZ(W,n,TQ);
294         for(i=1;i<=size(E);i++)
295         {
296            P[size(P)+1]=E[i];
297         }
298      }
299      return(P);
300   }
301
302   //==== the ideal intersected with Z is zero
303   rl[1]=0;
304   def Rhelp=ring(rl);
305   setring Rhelp;
306   ideal J=imap(R,J);
307   J=std(J);
308   //=== the primary decomposition over Q which gives the primary
309   //=== decomposition of I:h for a suitable integer h
310   list pr=primdecGTZ(J);
311   for(i=1;i<=size(pr);i++)
312   {
313      pr[i]=list(std(pr[i][1]),std(pr[i][2]));
314   }
315   setring R;
316   list pr=imap(Rhelp,pr);
317   //=== intersection with Z[variables]
318   for(i=1;i<=size(pr);i++)
319   {
320      pr[i]=list(coefZ(pr[i][1])[1],coefZ(pr[i][2])[1]);
321   }
322   //=== find h in Z such that I is the intersection of I:h and <I,h>
323   //=== and I:h = IQ[variables] intersected with Z[varables]
324   list H =coefZ(J);
325   ideal Y=H[1];
326   int h=H[2];
327   J=J,h;
328   //=== call primary decomposition over Z for <I,h>
329   list M;
330   if(h!=1)
331   {
332       M=primdecZ(J,n,Y);
333       j=0;
334       //=== remove useless primary ideals
335       while(j<size(M))
336       {
337          j++;
338          M[j][1]=stdZ(M[j][1]);
339          for(i=1;i<=size(pr);i++)
340          {
341             if(size(reduce(pr[i][1],M[j][1]))==0)
342             {
343                M=delete(M,j);
344                j--;
345                break;
346             }
347          }
348      }
349      for(i=1;i<=size(M);i++)
350      {
351         pr[size(pr)+1]=M[i];
352      }
353   }
354   return(pr);
355}
356example
357{ "EXAMPLE:";  echo = 2;
358   ring R=integer,(a,b,c,d),dp;
359   ideal I1=9,a,b;
360   ideal I2=3,c;
361   ideal I3=11,2a,7b;
362   ideal I4=13a2,17b4;
363   ideal I5=9c5,6d5;
364   ideal I6=17,a15,b15,c15,d15;
365   ideal I=intersectZ(I1,I2);
366   I=intersectZ(I,I3);
367   I=intersectZ(I,I4);
368   I=intersectZ(I,I5);
369   I=intersectZ(I,I6);
370   primdecZ(I);
371   ideal J=intersectZ(ideal(17,a),ideal(17,a2,b));
372   primdecZ(J);
373   ideal K=intersectZ(ideal(9,a+3),ideal(9,b+3));
374   primdecZ(K);
375}
376
377////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
378
379proc minAssZ(ideal I)
380"USAGE:  minAssZ(I); I ideal
381RETURN:  a list pr of associated primes:
382EXAMPLE: example minAssZ; shows an example
383"
384{
385   if(size(I)==0){return(list(ideal(0)));}
386   if(deg(I[1])==0)
387   {
388      ideal J=I;
389   }
390   else
391   {
392      ideal J=stdZ(I);
393   }
394   ideal K;
395   def R=basering;
396   list rl=ringlist(R);
397   int i,j,p,m;
398   list P,B;
399   if(deg(J[1])==0)
400   {
401      //=== I intersected with Z is not zero
402      list rp=rl;
403      rp[1]=0;
405      def Rhelp=ring(rp);
406      setring Rhelp;
407      number q=imap(R,q);
408      //=== computes the primes occuring in a generator of I intersect Z
409      //list L=PollardRho(q,5000,1);
410      list L=primefactors(q)[1];
411      for(i=1;i<=size(L);i++)
412      {
413      //=== computes for all p in L the minimal associated primes of
414      //=== IZ/p[variables]
415         p=int(L[i]);
416         setring R;
417         rp[1]=p;
418         def S=ring(rp);
419         setring S;
420         ideal J=imap(R,J);
421         list A=minAssGTZ(J);
422         setring R;
423         B=imap(S,A);
424         kill S;
425         for(j=1;j<=size(B);j++)
426         {
427            //=== the minimal associated primes of I
428            if(B[j][1]!=1)
429            {
430               K=B[j],p;
431               K=stdZ(K);
432               P[size(P)+1]=K;
433            }
434         }
435         setring Rhelp;
436      }
437      setring R;
438      return(P);
439   }
440   //==== the ideal intersected with Z is zero
441   rl[1]=0;
442   def Rhelp=ring(rl);
443   setring Rhelp;
444   ideal J=imap(R,J);
445   J=std(J);
446   //=== the primary decomposition over Q which gives the primary
447   //=== decomposition of I:h for a suitable integer h
448   list pr=minAssGTZ(J);
449   for(i=1;i<=size(pr);i++)
450   {
451      pr[i]=std(pr[i]);
452   }
453   setring R;
454   list pr=imap(Rhelp,pr);
455   //=== intersection with Z[variables]
456   for(i=1;i<=size(pr);i++)
457   {
458      pr[i]=coefZ(pr[i])[1];
459   }
460   //=== find h in Z such that I is the intersection of I:h and I,h
461   //=== and I:h =IQ[variables] intersected with Z[varables]
462   list H=coefZ(J);
463   int h=H[2];
464   J=J,h;
465   //=== call associated primes over Z for I,h
466   list M;
467   if(h!=1)
468   {
469       M=minAssZ(J);
470       //=== remove non-minimal primes
471       j=0;
472       while(j<size(M))
473       {
474          j++;
475          M[j]=stdZ(M[j]);
476          for(i=1;i<=size(pr);i++)
477          {
478             if(size(reduce(pr[i],M[j]))==0)
479             {
480                M=delete(M,j);
481                j--;
482                break;
483             }
484          }
485      }
486      for(i=1;i<=size(M);i++)
487      {
488         pr[size(pr)+1]=M[i];
489      }
490   }
491   return(pr);
492}
493example
494{ "EXAMPLE:";  echo = 2;
495   ring R=integer,(a,b,c,d),dp;
496   ideal I1=9,a,b;
497   ideal I2=3,c;
498   ideal I3=11,2a,7b;
499   ideal I4=13a2,17b4;
500   ideal I5=9c5,6d5;
501   ideal I6=17,a15,b15,c15,d15;
502   ideal I=intersectZ(I1,I2);
503   I=intersectZ(I,I3);
504   I=intersectZ(I,I4);
505   I=intersectZ(I,I5);
506   I=intersectZ(I,I6);
507   minAssZ(I);
508   ideal J=intersectZ(ideal(17,a),ideal(17,a2,b));
509   minAssZ(J);
510   ideal K=intersectZ(ideal(9,a+3),ideal(9,b+3));
511   minAssZ(K);
512}
513
514////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
515
516proc heightZ(ideal I)
517"USAGE:  heightZ(I); I ideal
518RETURN:  the height of the input ideal
519EXAMPLE: example heightZ; shows an example
520"
521{
522   if(size(I)==0){return(0);}
523   if(deg(I[1])==0)
524   {
525      ideal J=I;
526   }
527   else
528   {
529      ideal J=stdZ(I);
530   }
531   ideal K=1;
532   def R=basering;
533   list rl=ringlist(R);
534   int i,j,p,m;
535   list P;
536   ideal B;
537   if(deg(J[1])==0)
538   {
539      //=== I intersected with Z is not zero
540      m=nvars(R);
541      list rp=rl;
542      rp[1]=0;
544      def Rhelp=ring(rp);
545      setring Rhelp;
546      number q=imap(R,q);
547      //=== computes the primes occuring in a generator of I intersect Z
548      //list L=PollardRho(q,5000,1);
549      list L=primefactors(q)[1];
550      for(i=1;i<=size(L);i++)
551      {
552      //=== computes for all p in L the std of IZ/p[variables]
553         p=int(L[i]);
554         setring R;
555         rp[1]=p;
556         def S=ring(rp);
557         setring S;
558         ideal J=imap(R,J);
559         j=nvars(R)-dim(std(J));
560         if(j<m){m=j;}
561         setring Rhelp;
562         kill S;
563      }
564      setring R;
565      return(m+1);
566   }
567   //==== the ideal intersected with Z is zero
568   rl[1]=0;
569   def Rhelp=ring(rl);
570   setring Rhelp;
571   ideal J=imap(R,J);
572   J=std(J);
573   m=nvars(R)-dim(J);
574   //=== the height over Q
575   //=== of I:h for a suitable integer h
576   setring R;
577   //=== find h in Z such that I is the intersection of I:h and I,h
578   //=== and I:h =IQ[variables] intersected with Z[varables]
579   list H=coefZ(J);
580   int h=H[2];
581   J=J,h;
582   //=== call height over Z for I,h
583   if(h!=1)
584   {
585      j=heightZ(J);
586      if(j<m){m=j;}
587   }
588   return(m);
589}
590example
591{ "EXAMPLE:";  echo = 2;
592   ring R=integer,(a,b,c,d),dp;
593   ideal I1=9,a,b;
594   ideal I2=3,c;
595   ideal I3=11,2a,7b;
596   ideal I4=13a2,17b4;
597   ideal I5=9c5,6d5;
598   ideal I6=17,a15,b15,c15,d15;
599   ideal I=intersectZ(I1,I2);
600   I=intersectZ(I,I3);
601   I=intersectZ(I,I4);
602   I=intersectZ(I,I5);
603   I=intersectZ(I,I6);
604   heightZ(I);
605}
606
607////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
608
611RETURN:  the radcal of the input ideal
612EXAMPLE: example radicalZ; shows an example
613"
614{
615   if(size(I)==0){return(ideal(0));}
616   if(deg(I[1])==0)
617   {
618      ideal J=I;
619   }
620   else
621   {
622      ideal J=stdZ(I);
623   }
624   ideal K=1;
625   def R=basering;
626   list rl=ringlist(R);
627   int i,j,p,m;
628   list P;
629   ideal B;
630   if(deg(J[1])==0)
631   {
632      //=== I intersected with Z is not zero
633      list rp=rl;
634      rp[1]=0;
636      def Rhelp=ring(rp);
637      setring Rhelp;
638      number q=imap(R,q);
639      //=== computes the primes occuring in a generator of I intersect Z
640      //list L=PollardRho(q,5000,1);
641      list L=primefactors(q)[1];
642      for(i=1;i<=size(L);i++)
643      {
644      //=== computes for all p in L the radical of IZ/p[variables]
645         p=int(L[i]);
646         setring R;
647         rp[1]=p;
648         def S=ring(rp);
649         setring S;
650         ideal J=imap(R,J);
652         setring R;
653         B=imap(S,A);
654         kill S;
655         B=B,p;
656         B=stdZ(B);
657         K=stdZ(intersectZ(K,B));
658         //K=stdZ(intersect(K,B));
659         setring Rhelp;
660      }
661      setring R;
662      return(K);
663   }
664   //==== the ideal intersected with Z is zero
665   rl[1]=0;
666   def Rhelp=ring(rl);
667   setring Rhelp;
668   ideal J=imap(R,J);
669   J=std(J);
671   //=== of I:h for a suitable integer h
673   setring R;
674   K=imap(Rhelp,K);
675   //=== intersection with Z[variables]
676   K=coefZ(K)[1];
677   //=== find h in Z such that I is the intersection of I:h and I,h
678   //=== and I:h =IQ[variables] intersected with Z[varables]
679   list H=coefZ(J);
680   int h=H[2];
681   J=J,h;
682   //=== call radical over Z for I,h
683   if(h!=1)
684   {
686      K=intersectZ(K,M);
687      //K=intersect(K,M);
688   }
689   return(K);
690}
691example
692{ "EXAMPLE:";  echo = 2;
693   ring R=integer,(a,b,c,d),dp;
694   ideal I1=9,a,b;
695   ideal I2=3,c;
696   ideal I3=11,2a,7b;
697   ideal I4=13a2,17b4;
698   ideal I5=9c5,6d5;
699   ideal I6=17,a15,b15,c15,d15;
700   ideal I=intersectZ(I1,I2);
701   I=intersectZ(I,I3);
702   I=intersectZ(I,I4);
703   I=intersectZ(I,I5);
704   I=intersectZ(I,I6);
706   ideal J=intersectZ(ideal(17,a),ideal(17,a2,b));
708}
709
710////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
711
712proc equidimZ(ideal I)
713"USAGE:  equidimZ(I); I ideal
714RETURN:  the part of minimal height
715EXAMPLE: example equidimZ; shows an example
716"
717{
718   if(size(I)==0){return(ideal(0));}
719   if(deg(I[1])==0)
720   {
721      ideal J=I;
722   }
723   else
724   {
725      ideal J=stdZ(I);
726   }
727   int he=heightZ(J);
728   ideal K,N;
729   def R=basering;
730   number s;
731   list rl=ringlist(R);
732   int i,j,p,m,ex;
733   list P,IS,B;
734   ideal Q,JJ,E;
735   ideal TQ=1;
736   if(deg(J[1])==0)
737   {
738      //=== I intersected with Z is not zero
739      list rp=rl;
740      rp[1]=0;
741      //=== generator of I intersect Z
743      def Rhelp=ring(rp);
744      setring Rhelp;
745      number q=imap(R,q);
746      number s;
747      //=== computes the primes occuring in a generator of I intersect Z
748      //list L=PollardRho(q,5000,1);
749      list L=primefactors(q)[1];
750      list Le;
751      for(i=1;i<=size(L);i++)
752      {
753         L[i]=int(L[i]);
754         p=int(L[i]);
755         j=0;
756         s=q;
757         while((s mod p)==0)
758         {
759            j++;
760            s=s/p;
761         }
762         Le[i]=j;
763      }
764      for(i=1;i<=size(L);i++)
765      {
766      //=== computes for all p in L the minimal associated primes of
767      //=== IZ/p[variables]
768         p=int(L[i]);
769         j=Le[i];
770         setring R;
771         //=== maximal power of p dividing q, generator of I intersect Z
772         s=p^j;
773         rp[1]=p;
774         def S=ring(rp);
775         setring S;
776         ideal J=imap(R,J);
777         J=std(J);
778         if(nvars(R)-dim(J)+1==he)
779         {
780            if(j>1)
781            {
782               //=== p is of multiplicity >1 in q
783               list A=minAssGTZ(J);
784               j=0;
785               while(j<size(A))
786               {
787                  j++;
788                  if(dim(std(A[j]))!=nvars(R)-he+1)
789                  {
790                     A=delete(A,j);
791                     j--;
792                  }
793               }
794               setring R;
795               B=imap(S,A);
796               for(j=1;j<=size(B);j++)
797               {
798                  //=== the minimal associated primes of I
799                  K=B[j],p;
800                  K=stdZ(K);
801                  B[j]=K;
802               }
803               for(j=1;j<=size(B);j++)
804               {
805                  K=B[j];
806                  //=== compute maximal independent set for KZ/p[variables]
807                  setring S;
808                  J=imap(R,K);
809                  J=simplify(J,2);
810                  attrib(J,"isSB",1);
811                  IS=maxIndependSet(J);
812                  setring R;
813                  //=== computing the pseudo primary and extract it
814                  N=J,s;
815                  N=stdZ(N);
816                  Q=extractZ(N,j,IS,B);
817                  TQ=intersectZ(TQ,Q);
818                  //TQ=intersect(TQ,Q);
819               }
820               setring Rhelp;
821            }
822            else
823            {
824               //=== p is of multiplicity 1 in q we can compute the
825               //=== equidimensional part directly
826               ideal E=equidimMax(J);
827               setring R;
828               E=imap(S,E);
829               E=E,p;
830               E=stdZ(E);
831               TQ=intersectZ(TQ,E);
832               //TQ=intersect(TQ,E);
833            }
834         }
835         kill S;
836         setring Rhelp;
837      }
838      setring R;
839      return(TQ);
840   }
841   //==== the ideal intersected with Z is zero
842   rl[1]=0;
843   def Rhelp=ring(rl);
844   setring Rhelp;
845   ideal J=imap(R,J);
846   J=std(J);
847   //=== the equidimensional part over Q which gives the equdimensional
848   //=== part of I:h for a suitable integer h
849   ideal E=1;
850   if(nvars(R)-he==dim(J))
851   {
852      E=std(equidimMax(J));
853   }
854   setring R;
855   E =imap(Rhelp,E);
856   //=== intersection with Z[variables]
857   E=coefZ(E)[1];
858   //=== find h in Z such that I is the intersection of I:h and I,h
859   //=== and I:h =IQ[variables] intersected with Z[varables]
860   int h =coefZ(J)[2];
861   J=J,h;
862   //=== call equidimensional part over Z for I,h
863   ideal M;
864   if(h!=1)
865   {
866       M=equidimZ(J);
867       if(he==heightZ(M))
868       {
869          E=intersectZ(M,E);
870          //E=intersect(M,E);
871       }
872   }
873   return(E);
874}
875example
876{ "EXAMPLE:";  echo = 2;
877   ring R=integer,(a,b,c,d),dp;
878   ideal I1=9,a,b;
879   ideal I2=3,c;
880   ideal I3=11,2a,7b;
881   ideal I4=13a2,17b4;
882   ideal I5=9c5,6d5;
883   ideal I6=17,a15,b15,c15,d15;
884   ideal I=intersectZ(I1,I2);
885   I=intersectZ(I,I3);
886   I=intersectZ(I,I4);
887   I=intersectZ(I,I5);
888   I=intersectZ(I,I6);
889   equidimZ(I);
890}
891
892////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
893
894proc intersectZ(ideal I, ideal J)
895"USAGE:  intersectZ(I,J); I,J ideals
896RETURN:  the intersection of the input ideals
897NOTE:    this is needed because intersect(I,J) does not work, should be replaced
898         by intersect later
899EXAMPLE: example intersectZ; shows an example
900{
901   def R = basering;
902   execute("ring S=integer,(t,"+varstr(R)+"),(dp(1),dp(nvars(R)));");
903   ideal I=imap(R,I);
904   ideal J=imap(R,J);
906   K=stdZ(K);
907   int i;
908   ideal L;
909   for(i=1;i<=size(K);i++)
910   {
912   }
913   setring R;
914   ideal L=imap(S,L);
915   return(L);
916}
917example
918{ "EXAMPLE:";  echo = 2;
919   ring R=integer,(a,b,c,d),dp;
920   ideal I1=9,a,b;
921   ideal I2=3,c;
922   ideal I3=11,2a,7b;
923   ideal I4=13a2,17b4;
924   ideal I5=9c5,6d5;
925   ideal I6=17,a15,b15,c15,d15;
926   ideal I=intersectZ(I1,I2); I;
927   I=intersectZ(I,I3); I;
928   I=intersectZ(I,I4); I;
929   I=intersectZ(I,I5); I;
930   I=intersectZ(I,I6); I;
931}
932
933////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
934
935static proc modp(ideal J, int p, int nu)
936{
937//=== computes the minimal associated primes (if nu > 1) resp. the primary
938//=== decomposition (else) of J in Z/p and maps the result back to the basering
939   def R = basering;
940   list rp = ringlist(R);
941   rp[1] = p;
942   def Rp = ring(rp);
943   setring Rp;
944   ideal J = imap(R,J);
945   if(nu > 1)
946   {
947      //=== p is of multiplicity > 1 in q
948      list A = minAssGTZ(J);
949      setring R;
950      list A = imap(Rp,A);
951      return(list(A,p,nu));
952   }
953   else
954   {
955      list A = primdecGTZ(J);
956      setring R;
957      list A = imap(Rp,A);
958      return(list(A,p,nu));
959   }
960}
961
962////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
963
964static proc coefPrimeZ(ideal I)
965{
966//=== computes the primes occuring in the product of the leading coefficients
967//=== of I
968   number h=1;
969   int i;
970   for(i=1;i<=size(I);i++)
971   {
972      h=h*leadcoef(I[i]);  // besser machen (gleich zerlegen,
973                           // nicht ausmultiplizieren)
974   }
975   def R=basering;
976   ring Rhelp=0,x,dp;
977   number h=imap(R,h);
978   //list L=PollardRho(h,5000,1);
979   list L=primefactors(h)[1];
980   for(i=1;i<=size(L);i++){L[i]=int(L[i]);}
981   setring R;
982   return(L);
983}
984
985////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
986
987static proc coefZ(ideal I)
988{
989//=== assume IQ[variables]=<g_1,...,g_s>, Groebner basis, g_i in Z[variables]
990//=== computes an integer h such that
991//===   <g_1,...,g_s>Z[variables]:h^infinity = IQ[variables] intersected
992//===                                          with Z[variables]
993//=== returns a list with IQ[variables] intersected with Z[variables] and h
994   int h=1;
995   int i,e;
996   ideal K=1;
997   attrib(I,"isSB",1);
998   list L=coefPrimeZ(I);
999   if(size(L)==0){return(list(I,1));}
1000   int d=1;
1001   while(d!=0)
1002   {
1003      i++;
1004      K=quotientOneZ(I,L[i]);
1005      if(size(reduce(K,I))!=0)
1006      {
1007         h=h*L[i];
1008         I=stdZ(K);
1009         e=1;
1010      }
1011      if(i==size(L))
1012      {
1013         i=0;
1014         if(e)
1015         {
1016            e=0;
1017         }
1018         else
1019         {
1020           d=0;
1021         }
1022      }
1023   }
1024   if(h<0){h=-h;}
1025   return(list(K,h));
1026}
1027
1028////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1029
1030static proc specialPowerZ(ideal I, int m)
1031{
1032//=== computes the ideal generated by the m-th power of the generators of I
1033   int i;
1034   for(i=1;i<=size(I);i++)
1035   {
1036      I[i]=I[i]^m;
1037   }
1038   return(I);
1039}
1040
1041////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1042
1043static proc separatorsZ(int j, list B)
1044{
1045//=== computes s such that s is not in B[j] but s is in B[i] for all i!=j
1046   int i,k;
1047   poly s=1;
1048   for(i=1;i<=size(B);i++)
1049   {
1050      if(i!=j)
1051      {
1052         for(k=1;k<=size(B[i]);k++)
1053         {
1054            if(reduce(B[i][k],B[j])!=0)
1055            {
1056               s=s*B[i][k];
1057               break;
1058            }
1059         }
1060      }
1061   }
1062   return(s);
1063}
1064
1065////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1066
1067static proc extractZ(ideal J, int j, list L, list B)
1068{
1069   //=== P is an associated prime of J, the corresponding primary ideal is
1070   //=== computed,
1071   //=== L is a list of maximal independent sets for P in Z/p[variables]
1072   def R=basering;
1073   ideal P=B[j];
1074
1075   //=== first compute a pseudo primary ideal I, radical of I is P
1076   //=== method of Eisenbud
1078
1079   //=== method of Shimoyama-Yokoyama
1080   poly s=separatorsZ(j,B);
1081   ideal I=satZ(J,s);
1082   //=== size(L)=0 means P is maximal ideal and I is primary
1083   if(size(L)>0)
1084   {
1085      if(L[1][3]!=0)
1086      {
1087         //=== if u in x is an independent set of L then we compute a Groebner
1088         //=== Basis in Z[u][x-u]
1089         execute("ring S=integer,("+L[1][1]+"),lp;");
1090         ideal I=imap(R,I);
1091         I=stdZ(I);
1092         list rl=ringlist(S);
1093         rl[1]=0;
1094         def Shelp =ring(rl);
1095         setring Shelp;
1096         ideal I=imap(S,I);
1097         I[1]=0;
1098         I=simplify(I,2);
1099         //=== this is our way to obtain the coefficients in Z[u] of the
1100         //=== leading terms of the Groebner basis above
1101         string quotring=prepareQuotientring(nvars(basering)-L[1][3]);
1102         execute(quotring);
1103         ideal I=imap(Shelp,I);
1104         list C;
1105         int i;
1106         for(i=1;i<=size(I);i++)
1107         {
1109         }
1110         setring Shelp;
1111         list C=imap(quring,C);
1112
1113         setring R;
1114         list C=imap(Shelp,C);
1115      }
1116      else
1117      {
1118         I=stdZ(I);
1119         list C;
1120         int i;
1121         for(i=1;i<=size(I);i++)
1122         {
1123            C[i]=I[i];
1124         }
1125         list rl=ringlist(R);
1126         rl[1]=0;
1127         def Shelp =ring(rl);
1128      }
1129      poly h=1;
1130      for(i=1;i<=size(C);i++)
1131      {
1132         if(deg(C[i])>0){h=h*C[i];}  // das muss noch besser gemacht werden,
1133                                     // nicht ausmultiplizieren!
1134      }
1135      setring Shelp;
1136      poly h=imap(R,h);
1137      ideal fac=factorize(h,1);
1138      setring R;
1139      ideal fac=imap(Shelp,fac);
1140      for(i=1;i<=size(fac);i++)
1141      {
1142         I=satZ(I,fac[i]);
1143      }
1144   }
1145   I=stdZ(I);
1146   return(I);
1147}
1148////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1149
1150static proc normalizeZ(ideal I)
1151{
1152//=== if I[1]=q in Z, it replaces all other coeffs of polys in I by there value
1153//=== mod q, std should do this automatically and then this procedure should be
1154//=== removed
1155   if(deg(I[1])>0){return(I);}
1156   int i,j;
1157   number n;
1158   poly p;
1159   for(i=2;i<=size(I);i++)
1160   {
1161      j=1;
1162      while(j<=size(I[i]))
1163      {
1166         I[i]=I[i]-I[i][j]+p;
1167         if(p!=0){j++;}
1168      }
1169   }
1170   return(I);
1171}
1172
1173////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1174
1175static proc satZ(ideal I,poly h)
1176{
1177//=== saturates I by h
1178   ideal J=quotientOneZ(I,h);
1179   while(size(reduce(J,stdZ(I)))!=0)
1180   {
1181      I=J;
1182      J=quotientOneZ(I,h);
1183      J=normalizeZ(J);
1184   }
1185   return(J);
1186}
1187
1188////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1189
1190static proc prepareQuotientring (int nnp)
1191{
1192//=== this is from primdec.lib, it is static there, should be imported later
1193//=== if it is no more static
1194  ideal @ih,@jh;
1195  int npar=npars(basering);
1196  int @n;
1197
1198  string quotring= "ring quring = ("+charstr(basering);
1199  for(@n=nnp+1;@n<=nvars(basering);@n++)
1200  {
1201     quotring=quotring+",var("+string(@n)+")";
1202     @ih=@ih+var(@n);
1203  }
1204
1205  quotring=quotring+"),(var(1)";
1206  @jh=@jh+var(1);
1207  for(@n=2;@n<=nnp;@n++)
1208  {
1209     quotring=quotring+",var("+string(@n)+")";
1210     @jh=@jh+var(@n);
1211  }
1212  quotring=quotring+"),(C,lp);";
1213
1214  return(quotring);
1215}
1216
1217////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1218
1219static proc maxIndependSet (ideal j)
1220{
1221//=== this is from primdec.lib, it is static there, should be imported later
1222//=== if it is no more static
1223  int n,k,di;
1224
1225  list resu,hilf;
1226  if(size(j)==0)
1227  {
1228     resu[1]=varstr(basering);
1229     resu[2]=ordstr(basering);
1230     resu[3]=0;
1231     return(list(resu));
1232  }
1233  string var1,var2;
1234  list v=indepSet(j,0);
1235
1236  for(n=1;n<=size(v);n++)
1237  {
1238    di=0;
1239    var1="";
1240    var2="";
1241    for(k=1;k<=size(v[n]);k++)
1242    {
1243      if(v[n][k]!=0)
1244      {
1245        di++;
1246        var2=var2+"var("+string(k)+"),";
1247      }
1248      else
1249      {
1250        var1=var1+"var("+string(k)+"),";
1251      }
1252    }
1253    if(di>0)
1254    {
1255      var1=var1+var2;
1256      var1=var1[1..size(var1)-1];
1257      hilf[1]=var1;
1258      hilf[2]="lp";
1259      hilf[3]=di;
1260      resu[n]=hilf;
1261    }
1262    else
1263    {
1264      resu[n]=varstr(basering),ordstr(basering),0;
1265    }
1266  }
1267  return(resu);
1268}
1269
1270////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1271
1272static proc quotientOneZ(ideal I, poly f)
1273{
1274//=== this is needed because quotient(I,f) does not work properly, should be
1275//=== replaced by quotient later
1276   def R=basering;
1277   int i;
1278   ideal K=intersectZ(I,ideal(f));
1279   //ideal K=intersect(I,ideal(f));
1280   //=== K[i]/f; does not work in rings with integer! This should be replaced
1281   //=== later
1282   execute("ring Rhelp=0,("+varstr(R)+"),dp;");
1283   ideal K=imap(R,K);
1284   poly f=imap(R,f);
1285   for(i=1;i<=size(K);i++)
1286   {
1287      K[i]=K[i]/f;
1288   }
1289   setring R;
1290   K=imap(Rhelp,K);
1291   return(K);
1292}
1293
1294////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1295
1296static proc quotientZ(ideal I, ideal J)
1297{
1298//=== this is needed because quotient(I,J) does not work properly, should be
1299//=== replaced by quotient later
1300   int i;
1301   ideal K=quotientOneZ(I,J[1]);
1302   for(i=2;i<=size(J);i++)
1303   {
1304      K=intersectZ(K,quotientOneZ(I,J[i]));
1305      //K=intersect(K,quotientOneZ(I,J[i]));
1306   }
1307   return(K);
1308}
1309
1310////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1311
1312static proc reduceZ(poly f, ideal I)
1313{
1314//=== this is needed because reduce(f,I) does not work properly, should be
1315//=== replaced by reduce later
1316   if(f==0){return(f);}
1317   def R=basering;
1318   execute("ring Rhelp=0,("+varstr(R)+"),dp;");
1319   ideal I=imap(R,I);
1320   poly f=imap(R,f);
1321   int i,j;
1322   poly m;
1323   number n;
1324   while(!i)
1325   {
1326      i=1;
1327      j=0;
1328      while(j<size(I))
1329      {
1330         j++;
1332         if(m!=0)
1333         {
1335            if(n==0)
1336            {
1338               if(f==0){setring R;return(0);}
1339               i=0;
1340               break;
1341            }
1343            {
1345               i=0;
1346               break;
1347            }
1348         }
1349      }
1350   }
1351   setring R;
1352   f=imap(Rhelp,f);
1354}
1355
1356////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1357
1358static proc stdZ(ideal I)
1359{
1360//=== this is needed because we want the leading coefficients to be positive
1361//=== otherwhise reduce gives wrong results! should be replaced later by std
1362   I=simplify(I,2);
1363   I=normalizeZ(I);
1364   ideal J=std(I);
1365   int i;
1366   for(i=1;i<=size(J);i++)
1367   {
1369   }
1370   J=normalizeZ(J);
1371   attrib(J,"isSB",1);
1372   return(J);
1373}
1374
1375////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1376
1378{
1379//=== this is needed because I+J does not work, should be replaced by + later
1380   int i;
1381   for(i=1;i<=size(J);i++)
1382   {
1383      I[size(I)+1]=J[i];
1384   }
1385   return(I);
1386}
1387
1388////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1389
1390static proc testPrimaryZ(ideal I, list L)
1391{
1392//=== test whether I is the intersection of the primary ideals in L
1393   int i;
1394   ideal K=L[1][1];
1395   for(i=2;i<=size(L);i++)
1396   {
1397      K=intersectZ(K,L[i][1]);
1398      //K=intersect(K,L[i][1]);
1399   }
1400   i=size(reduce(K,stdZ(I)))+size(reduce(I,stdZ(K)));
1401   if(!i){return(1);}
1402   return(0);
1403}
1404
1405////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1406
1407/*
1408Examples:
1409
1410//=== IQ[a,b,c,d,e,f,g] intersect Z[a,b,c,d,e,f,g] = I  (takes some time)
1411ring R1=integer,(a,b,c,d,e,f,g),dp;
1412ideal I=a2+2de+2cf+2bg+a,
1413        2ab+e2+2df+2cg+b,
1414        b2+2ac+2ef+2dg+c,
1416        c2+2bd+2ae+2fg+e,
1417        2cd+2be+2af+g2+f,
1418        d2+2ce+2bf+2ag+g;
1419
1420ring R2=integer,(a,b,c,d,e,f,g),dp;
1421ideal I=181*32003,
1422        a2+2de+2cf+2bg+a,
1423        2ab+e2+2df+2cg+b,
1424        b2+2ac+2ef+2dg+c,
1426        c2+2bd+2ae+2fg+e,
1427        2cd+2be+2af+g2+f,
1428        d2+2ce+2bf+2ag+g;
1429
1430ring R3=integer,(w,z,y,x),dp;
1431ideal I=xzw+(-y^2+y)*z^2,
1432        (-x^2+x)*w^2+yzw,
1433        ((y^4-2*y^3+y^2)*x-y^4+y^3)*z^3,
1434        y2z2w+(-y*4+2*y^3-y^2)*z3;
1435
1436ring R4=integer,(w,z,y,x),dp;
1437ideal I=-2*yxzw+(-yx-y^2+y)*z^2,
1438        xw^2-yz^2,
1439        (yx^2-(2*y^2+2*y)*x+y^3-2*y^2+y)*z^3,
1440        (-2*y^2+2*y)*z^2*w+(yx-3*y^2-y)*z^3;
1441
1442ring R5=integer,(x,y,z),dp;
1443ideal I=x2-y2-z2,
1444        xy-z2,
1445        y3+xz2-yz2+2z3+xy-z2,
1446        -y2z2+2z4+x2-y2+z2,
1447        y3z9+3y2z10+3yz11+z12-y2z2+2z4;
1448
1449ring R6=integer,(h, l, s, x, y, z),dp;  //takes some time
1450ideal I=hl-l2-4ls+hy,
1451        h2s-6ls3+h2z,
1452        xh2-l2s-h3;
1453
1454ring R7=integer,(x,y,z),dp;
1455ideal I=x2-y2-(z+2)^2,
1456        xy-(z+2)^2,
1457        y3+x*(z+2)^2-y*(z+2)^2+2*(z+2)^3+xy-(z+2)^2,
1458        -y^2*(z+2)^2+2*(z+2)^4+x2-y2+(z+2)^2,
1459        y3z9+3y2z10+3yz11+z12-y2z2+2z4;
1460
1461ring R8=integer,(x,y,z),dp;
1462ideal I=x2-y2-(z+2)^2,
1463        xy-(z+2)^2,
1464        y3+x*(z+2)^2-y*(z+2)^2+2*(z+2)^3+xy-(z+2)^2,
1465        -y^2*(z+2)^2+2*(z+2)^4+x2-y2+(z+2)^2,
1466        y3z9+3y2z10+3yz11+z12-y2z2+2z4;
1467
1468ring R9=integer,(w,z,y,x),dp;
1469ideal I=630,
1470        ((y^2-y)*x-y^3+y^2)*z^2,
1471        (x-y)*zw,
1472        (x-y^2)*zw+(-y^2+y)*z^2,
1473        (-x^2+x)*w^2+(-yx+y)*zw;
1474
1475ring R10=integer,(w,z,y,x),dp;
1476ideal I=1260,
1477        -yxzw+(-y^2+y)*z^2,
1478        (-x^2+x)*w^2-yxzw,
1479        ((-y^2+y)*x-y^3+2*y^2-y)*z^3,
1480        (y^2-y)*z^2*w+(-y^2+y)*z^2*w+(-y^2+y)*z^3;
1481
1482ring R11=integer,(w,z,y,x),dp;
1483ideal I=(4*y^2*x^2+(4*y^3+4*y^2-y)*x-y^2-y)*z^2,
1484        (x+y+1)*zw+(-4*y^2*x-4*y^3-4*y^2)*z^2,
1485        (-x-2*y^2 - 2*y - 1)*zw + (8*y^3*x + 8*y^4 + 8*y^3 + 2*y^2+y)*z^2,
1486        ((y^3 + y^2)*x - y^2 - y)*z^2,
1487        (y +1)*zw + (-y^3 -y^2)*z^2,
1488        (x + 1)*zw +(- y^2 -y)*z^2,
1489        (x^2 +x)*w^2 + (-yx - y)*zw;
1490
1491ring R12=integer,(w,z,y,x),dp;
1492ideal I=72,
1493        ((y^3 + y^2)*x - y^2 - y)*z^2,
1494        (y + 1)*zw + (-y^3 -y^2)*z^2,
1495        (x + 1)*zw + (-y^2 -y)*z^2, (x^2 + x)*w^2 + (-yx - y)*zw;
1496
1497ring R13=integer,(w,z,y,x),dp;
1498ideal I=(((12*y+8)*x^2 +(2*y+2)*x)*zw +((-15*y^2 -4*y)*x-4*y^2 -y)*z^2,
1499        -x*w^2 +((-12*y -8)*x+2*y)*zw +(15*y^2+4*y)*z^2,
1500        (81*y^4*x^2 +(-54*y^3 -12*y^2)*x-12*y^3 -3*y^2)*z^3,
1501        (-24*yx+6*y^2-6*y)*z^2*w + (-81*y^4*x + 81*y^3 + 24*y^2)*z^3,
1502        (48*x^2 + (-30*y + 12)*x - 6*y)*z^2*w + ((81*y^3 -54*y^2 -24*y)*x
1503        -21*y^2 -6*y)*z^3,
1504        (-96*yx-18*y^3 +18*y^2-24*y)*z^2*w +(243*y^5*x-243*y^4 +72*y^3
1505        +48*y^2)*z^3,
1506        6*y*z^2*w^2 +((576*y+384)*x^2 + (-81*y^3 -306*y^2 -168*y+96)*x+81*y^2
1507        -18*y)*z^3*w +((-720*y^2 - 192*y)*x + 450*y^3 - 60*y^2 - 48*y)*z^4);
1508
1509ring R14=integer,(x(1),x(2),x(3),x(4)),dp;
1510ideal I=181*49^2,
1511        x(4)^4,
1512        x(1)*x(4)^3,
1513        x(1)*x(2)*x(4)^2,
1514        x(2)^2*x(4)^2,
1515        x(2)^2*x(3)*x(4),
1516        x(1)*x(2)*x(3)*x(4),
1517        x(1)*x(3)^2*x(4),
1518        x(3)^3*x(4);
1519
1520
1521ring R15=integer,(x,y,z),dp;
1522ideal I=32003*181*64,
1523        ((z^2-z)*y^2 + (z^2 -z)*y)*x; (z*y^3 + z*y^2)*x,
1524        (y^4 - y^2)*x, (z^2 - z)*y*x^2, (y^3 - y^2)*x^2,
1525        (z^3 - z^2)*x^4 + (2*z^3 -2*z^2)*x^3 + (z^3 -z^2)*x^2,
1526        z*y^2*x^2, z*y*x^4 +z*y*x^3,
1527        2*y^2*x^4 +6*y^2*x^3 +6*y^2*x^2 + (y^3 +y^2)*x, z*x^5 + (z^2 +z)*x^4
1528        + (2*z^2 -z)*x^3 + (z^2 -z)*x^2,
1529        y*x^6 + 3*y*x^5 + 3*y*x^4 + y*x^3;
1530
1531
1532ring R16=integer,(x(1),x(2),x(3),x(4),x(5)),dp;
1533ideal I=x(5)^5,
1534        x(1)*x(5)^4,
1535        x(1)*x(2)*x(5)^3,
1536        x(2)^2*x(5)^3,
1537        x(2)^2*x(3)*x(5)^2,
1538        x(1)*x(2)*x(3)*x(5)^2,
1539        x(1)*x(3)^2*x(5)^2,
1540        x(3)^3*x(5)^2,
1541        x(3)^3*x(4)*x(5),
1542        x(1)*x(3)^2*x(4)*x(5),
1543        x(1)*x(2)*x(3)*x(4)*x(5),
1544        x(2)^2*x(3)*x(4)*x(5),
1545        x(2)^2*x(4)^2*x(5),
1546        x(1)*x(2)*x(4)^2*x(5),
1547        x(1)*x(4)^3*x(5),
1548        x(4)^4*x(5);
1549      I=intersectZ(I,ideal(64*181,x(1)^2));
1550
1551ring R17=integer,(x,y,z),dp;
1552ideal I=374,
1553        (z+2)^8-140z6+2622*(z+2)^4-1820*(z+2)^2+169,
1554        17y*(z+2)^4-374*y*(z+2)^2+221y+2z7-281z5+5240z3-3081z,
1555        204y2+136yz3-3128yz+z6-149z4+2739z2+117,
1556        17xz4-374xz2+221x+2z7-281z5+5240z3-3081z,
1557        136xy-136xz-136yz+2z6-281z4+5376z2-3081,
1558        204x2+136xz3-3128xz+z6-149z4+2739z2+117;
1559
1560ring R18=integer,(B,D,F,b,d,f),dp;
1561ideal I=6,
1562        (b-d)*(B-D)-2*F+2,
1563        (b-d)*(B+D-2*F)+2*(B-D),
1564        (b-d)^2-2*(b+d)+f+1,
1565        B^2*b^3-1,
1566        D^2*d^3-1,
1567        F^2*f^3-1;
1568
1569ring R19=integer,(a,b,c,d,e,f),dp;
1570ideal I=24,
1571        2*(f+2)*b+2ec+d2+a2+a,
1572        2*(f+2)*c+2ed+2ba+b,
1573        2*(f+2)*d+e2+2ca+c+b2,
1574        2*(f+2)*e+2da+d+2cb,
1575        (f+2)^2+2ea+e+2db+c2,
1576        2*(f+2)*a+f+2eb+2dc;
1577
1578ring R20=integer,(x,y,z,w,u),dp;
1579ideal I=24,
1580         2x2-2y2+2z2-2w2+2u2-1,
1581         2x3-2y3+2z3-2w3+2u3-1,
1582         2x4-2y4+2z4-2w4+2u4-1,
1583         2x5-2y5+2z5-2w5+2u5-1,
1584         2x6-2y6+2z6-2w6+2u6-1;
1585
1586ring R21=integer,(x,y,z,t,u,v,h),dp;
1587ideal I=66,
1588        2x2+2y2+2z2+2t2+2u2+v2-vh,
1589        xy+yz+2zt+2tu+2uv-uh,
1590        2xz+2yt+2zu+u2+2tv-th,
1591        2xt+2yu+2tu+2zv-zh,
1592        t2+2xv+2yv+2zv-yh,
1593        2x+2y+2z+2t+2u+v-h,
1594        x3+y3+z3+t3+u3+v3;
1595
1596ring R22=integer,(s,p,S,P,T,F,f),dp;
1597ideal I=35,
1598        2*T-S*s-2*F+2,
1599        8*F*p-4*p*S-2*F*s^2+S*s^2+4*T-2*S*s,
1600        -2*s-4*p+s^2+f+1,
1601        s*T^2-p*s*P-p*S*T-2,
1602        p^3*P^2-1,
1603        F^2*f^3-1;
1604*/
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.