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D.11.2.13 Atkin
Procedure from library atkins.lib (see atkins_lib).
- Return:
- 1, if N is prime,
-1, if N is not prime,
0, if the algorithm is not applicable, since there are too little discriminants
- Assume:
- N is coprime to 6 and different from 1
- Note:
- - K/2 is input for the procedure "disc",
K is input for the procedure "HilbertClassPolynomial",
B describes the number of recursions being calculated
- The basis of the the algorithm is the following theorem:
Let N be an integer coprime to 6 and different from 1 and E be an
ellipic curve modulo N. Assume that we know an integer m and a
point P of E(Z/NZ) satisfying the following conditions.
(1) There exists a prime divisor q of m such that q>(4-th root(N)+1)^2.
(2) m*P=O(E)=(0:1:0).
(3) (m/q)*P=(x:y:t) with t element of (Z/NZ)*.
Then N is prime.
Example:
| LIB "atkins.lib";
ring R = 0,x,dp;
printlevel=1;
Atkin(7691,100,5);
==> Setze i=0, n=0 und N(i)=N(0)=7691.
==> pause>Liste H der moeglichen geeigneten Diskriminanten wird berechnet.
==> H=-3,-4,-7,-8,-11,-12,-15,-16,-19,-20,-23,-24,-27,-28,-31,-32,-35,-36,-39\
,-40,-43,-44,-47,-48,-51,-52,-55,-56,-59,-60,-63,-64,-67,-68,-71,-72,-75,\
-76,-79,-80,-83,-84,-87,-88,-91,-92,-95,-96,-99,-100,-103,-104,-107,-108,\
-111,-112,-115,-116,-119,-120,-123,-124,-127,-128,-131,-132,-135,-136,-13\
9,-140,-143,-144,-147,-148,-151,-152,-155,-156,-159,-160,-163,-164,-167,-\
168,-171,-172,-175,-176,-179,-180,-183,-184,-187,-188,-191,-192,-195,-196\
,-199,-200
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-3.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-4.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-7.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-8.
==> pause>Die Loesung (x,y) der Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) lautet
==> [1]:
==> 54
==> [2]:
==> 59
==> pause>Die Liste L2 der moeglichen m=|E(Z/N(0)Z)| wird berechnet.
==> L2=
==> [1]:
==> 7746
==> [2]:
==> 7638
==> pause>Die Liste S der Faktoren aller moeglichen m wird berechnet.
==> S=
==> [1]:
==> [1]:
==> 7746
==> [2]:
==> [1]:
==> 3
==> [2]:
==> 2
==> [3]:
==> 1291
==> [4]:
==> 7746
==> [2]:
==> [1]:
==> 7638
==> [2]:
==> [1]:
==> 19
==> [2]:
==> 67
==> [3]:
==> 2
==> [4]:
==> 3
==> [5]:
==> 2
==> pause>Geeignetes Paar (m,q) gefunden, so dass q|m,
==> q>(4-th root(N(0))+1)^2 und q den Miller-Rabin-Test passiert.
==> m=7746,
==> q=1291
==> pause>Das Minimalpolynom T von j((D+sqr(D))/2) aus Z[X] fuer D=-8 wird be\
rechnet.
==> T=x-8000
==> pause>Setze T=T mod N(0).
==> T=x+7382
==> pause>Die Nullstelle von T modulo N(0) ist
==> [1]:
==> 309
==> pause>Waehle die Nullstelle j=309 aus und setze
==> c=j/(j-1728) mod N(0), a=-3c mod N(0), b=2c mod N(0).
==> a=2586,
==> b=5967
==> pause>g=417
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(0)=7691,
==> a=2586,
==> b=5967
==> wird gewaehlt.
==> P=(1754,3392,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(1537,7390,1),
==> P2=(4245,3785,1)
==> pause>Da P1!=(0:1:0), ist fuer die Koeffizienten a=2586 und b=5967 m!=|E(\
Z/N(0)Z)|.
==> Waehle daher neue Koeffizienten a und b.
==> pause>Da D<-4, setze a=a*g^2 mod N(0) und b=b*g^3 mod N(0).
==> a=7257,
==> b=5287,
==> k=1
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(0)=7691,
==> a=7257,
==> b=5287
==> wird gewaehlt.
==> P=(704,3085,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(0,1,0),
==> P2=(1612,5530,1)
==> pause>1. Rekursion:
==>
==> N(0)=7691 erfuellt die Bedingungen des zugrunde liegenden Satzes,
==> da P1=(0:1:0) und P2[3] aus (Z/N(0)Z)*.
==>
==> Untersuche nun, ob auch der gefundene Faktor q=1291 diese Bedingungen erf\
uellt.
==> Setze dazu i=i+1, N(1)=q=1291 und beginne den Algorithmus von vorne.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-3.
==> pause>Die Loesung (x,y) der Gleichung x^2+|D|y^2=4N(1) lautet
==> [1]:
==> 67
==> [2]:
==> 15
==> pause>Die Liste L2 der moeglichen m=|E(Z/N(1)Z)| wird berechnet.
==> L2=
==> [1]:
==> 1359
==> [2]:
==> 1225
==> [3]:
==> 1348
==> [4]:
==> 1236
==> [5]:
==> 1303
==> [6]:
==> 1281
==> pause>Die Liste S der Faktoren aller moeglichen m wird berechnet.
==> S=
==> [1]:
==> [1]:
==> 1359
==> [2]:
==> [1]:
==> 151
==> [2]:
==> 3
==> [3]:
==> 1359
==> [2]:
==> [1]:
==> 1225
==> [2]:
==> [1]:
==> 5
==> [2]:
==> 7
==> [3]:
==> 1225
==> [3]:
==> [1]:
==> 1348
==> [2]:
==> [1]:
==> 337
==> [2]:
==> 2
==> [3]:
==> 1348
==> [4]:
==> [1]:
==> 1236
==> [2]:
==> [1]:
==> 103
==> [2]:
==> 3
==> [3]:
==> 2
==> [4]:
==> 1236
==> [5]:
==> [1]:
==> 1303
==> [2]:
==> [1]:
==> 1303
==> [2]:
==> 1303
==> [6]:
==> [1]:
==> 1281
==> [2]:
==> [1]:
==> 7
==> [2]:
==> 61
==> [3]:
==> 3
==> [4]:
==> 1281
==> pause>Geeignetes Paar (m,q) gefunden, so dass q|m,
==> q>(4-th root(N(1))+1)^2 und q den Miller-Rabin-Test passiert.
==> m=1359,
==> q=151
==> pause>Da D=-3, setze a=0 und b=-1.
==> pause>g=805
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=1291,
==> a=0,
==> b=-1
==> wird gewaehlt.
==> P=(588,995,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(224,478,1),
==> P2=(305,239,1)
==> pause>Da P1!=(0:1:0), ist fuer die Koeffizienten a=0 und b=-1 m!=|E(Z/N(1\
)Z)|.
==> Waehle daher neue Koeffizienten a und b.
==> pause>Da D=-3, setze b=b*g mod N(1).
==> a=0,
==> b=486,
==> k=1
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=1291,
==> a=0,
==> b=486
==> wird gewaehlt.
==> P=(151,379,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(188,279,1),
==> P2=(100,337,1)
==> pause>Da P1!=(0:1:0), ist fuer die Koeffizienten a=0 und b=486 m!=|E(Z/N(\
1)Z)|.
==> Waehle daher neue Koeffizienten a und b.
==> pause>Da D=-3, setze b=b*g mod N(1).
==> a=0,
==> b=57,
==> k=2
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=1291,
==> a=0,
==> b=57
==> wird gewaehlt.
==> P=(597,269,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(781,549,1),
==> P2=(923,1121,1)
==> pause>Da P1!=(0:1:0), ist fuer die Koeffizienten a=0 und b=57 m!=|E(Z/N(1\
)Z)|.
==> Waehle daher neue Koeffizienten a und b.
==> pause>Da D=-3, setze b=b*g mod N(1).
==> a=0,
==> b=700,
==> k=3
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=1291,
==> a=0,
==> b=700
==> wird gewaehlt.
==> P=(637,776,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(799,676,1),
==> P2=(909,957,1)
==> pause>Da P1!=(0:1:0), ist fuer die Koeffizienten a=0 und b=700 m!=|E(Z/N(\
1)Z)|.
==> Waehle daher neue Koeffizienten a und b.
==> pause>Da D=-3, setze b=b*g mod N(1).
==> a=0,
==> b=624,
==> k=4
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=1291,
==> a=0,
==> b=624
==> wird gewaehlt.
==> P=(541,546,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(1179,204,1),
==> P2=(772,1233,1)
==> pause>Da P1!=(0:1:0), ist fuer die Koeffizienten a=0 und b=624 m!=|E(Z/N(\
1)Z)|.
==> Waehle daher neue Koeffizienten a und b.
==> pause>Da D=-3, setze b=b*g mod N(1).
==> a=0,
==> b=121,
==> k=5
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=1291,
==> a=0,
==> b=121
==> wird gewaehlt.
==> P=(1038,988,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(0,1,0),
==> P2=(707,725,1)
==> pause>2. Rekursion:
==>
==> N(1)=1291 erfuellt die Bedingungen des zugrunde liegenden Satzes,
==> da P1=(0:1:0) und P2[3] aus (Z/N(1)Z)*.
==>
==> Untersuche nun, ob auch der gefundene Faktor q=151 diese Bedingungen erfu\
ellt.
==> Setze dazu i=i+1, N(2)=q=151 und beginne den Algorithmus von vorne.
==> pause>1
Atkin(8543,100,4);
==> Setze i=0, n=0 und N(i)=N(0)=8543.
==> pause>Liste H der moeglichen geeigneten Diskriminanten wird berechnet.
==> H=-3,-4,-7,-8,-11,-12,-15,-16,-19,-20,-23,-24,-27,-28,-31,-32,-35,-36,-39\
,-40,-43,-44,-47,-48,-51,-52,-55,-56,-59,-60,-63,-64,-67,-68,-71,-72,-75,\
-76,-79,-80,-83,-84,-87,-88,-91,-92,-95,-96,-99,-100,-103,-104,-107,-108,\
-111,-112,-115,-116,-119,-120,-123,-124,-127,-128,-131,-132,-135,-136,-13\
9,-140,-143,-144,-147,-148,-151,-152,-155,-156,-159,-160,-163,-164,-167,-\
168,-171,-172,-175,-176,-179,-180,-183,-184,-187,-188,-191,-192,-195,-196\
,-199,-200
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-3.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-4.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-7.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-8.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-11.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-12.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-15.
==> pause>Die Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) hat keine Loesung.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-16.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-19.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-20.
==> pause>Die Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) hat keine Loesung.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-23.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-24.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-27.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-28.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-31.
==> pause>Die Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) hat keine Loesung.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-32.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-35.
==> pause>Die Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) hat keine Loesung.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-36.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-39.
==> pause>Die Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) hat keine Loesung.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-40.
==> pause>Die Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) hat keine Loesung.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-43.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-44.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-47.
==> pause>Die Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) hat keine Loesung.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-48.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-51.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-52.
==> pause>Die Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) hat keine Loesung.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-55.
==> pause>Die Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) hat keine Loesung.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-56.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-59.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-60.
==> pause>Die Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) hat keine Loesung.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-63.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-64.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-67.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-68.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-71.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-72.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-75.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-76.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-79.
==> pause>Die Loesung (x,y) der Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) lautet
==> [1]:
==> 184
==> [2]:
==> 2
==> pause>Die Liste L2 der moeglichen m=|E(Z/N(0)Z)| wird berechnet.
==> L2=
==> [1]:
==> 8728
==> [2]:
==> 8360
==> pause>Die Liste S der Faktoren aller moeglichen m wird berechnet.
==> S=
==> [1]:
==> [1]:
==> 8728
==> [2]:
==> [1]:
==> 2
==> [2]:
==> 2
==> [3]:
==> 1091
==> [4]:
==> 8728
==> [2]:
==> [1]:
==> 8360
==> [2]:
==> [1]:
==> 5
==> [2]:
==> 11
==> [3]:
==> 19
==> [4]:
==> 2
==> [5]:
==> 2
==> pause>Geeignetes Paar (m,q) gefunden, so dass q|m,
==> q>(4-th root(N(0))+1)^2 und q den Miller-Rabin-Test passiert.
==> m=8728,
==> q=1091
==> pause>Das Minimalpolynom T von j((D+sqr(D))/2) aus Z[X] fuer D=-79 wird b\
erechnet.
==> T=x5+1339190283240x4-6366718450945836x3+1793441424178093483069839x2-58594\
23003994491322155950334x+5458041030919737322344464663391
==> pause>Setze T=T mod N(0).
==> T=x5+71x4+5254x3+373x2+2584x+8442
==> pause>Die 5 Nullstellen von T modulo N(0) sind
==> [1]:
==> 1857
==> [2]:
==> -2129
==> [3]:
==> 2811
==> [4]:
==> 2901
==> [5]:
==> 3032
==> pause>Waehle die Nullstelle j=1857 aus und setze
==> c=j/(j-1728) mod N(0), a=-3c mod N(0), b=2c mod N(0).
==> a=4725,
==> b=5393
==> pause>g=7054
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(0)=8543,
==> a=4725,
==> b=5393
==> wird gewaehlt.
==> P=(517,3390,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(8261,3699,1),
==> P2=(2932,6328,1)
==> pause>Da P1!=(0:1:0), ist fuer die Koeffizienten a=4725 und b=5393 m!=|E(\
Z/N(0)Z)|.
==> Waehle daher neue Koeffizienten a und b.
==> pause>Da D<-4, setze a=a*g^2 mod N(0) und b=b*g^3 mod N(0).
==> a=260,
==> b=4651,
==> k=1
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(0)=8543,
==> a=260,
==> b=4651
==> wird gewaehlt.
==> P=(684,7836,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(0,1,0),
==> P2=(2910,6464,1)
==> pause>1. Rekursion:
==>
==> N(0)=8543 erfuellt die Bedingungen des zugrunde liegenden Satzes,
==> da P1=(0:1:0) und P2[3] aus (Z/N(0)Z)*.
==>
==> Untersuche nun, ob auch der gefundene Faktor q=1091 diese Bedingungen erf\
uellt.
==> Setze dazu i=i+1, N(1)=q=1091 und beginne den Algorithmus von vorne.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-3.
==> pause>Jacobi(D,N(1))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-4.
==> pause>Jacobi(D,N(1))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-7.
==> pause>Jacobi(D,N(1))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-8.
==> pause>Die Loesung (x,y) der Gleichung x^2+|D|y^2=4N(1) lautet
==> [1]:
==> 66
==> [2]:
==> 1
==> pause>Die Liste L2 der moeglichen m=|E(Z/N(1)Z)| wird berechnet.
==> L2=
==> [1]:
==> 1158
==> [2]:
==> 1026
==> pause>Die Liste S der Faktoren aller moeglichen m wird berechnet.
==> S=
==> [1]:
==> [1]:
==> 1158
==> [2]:
==> [1]:
==> 193
==> [2]:
==> 3
==> [3]:
==> 2
==> [4]:
==> 6
==> [2]:
==> [1]:
==> 1026
==> [2]:
==> [1]:
==> 19
==> [2]:
==> 3
==> [3]:
==> 3
==> [4]:
==> 2
==> [5]:
==> 1026
==> pause>Geeignetes Paar (m,q) gefunden, so dass q|m,
==> q>(4-th root(N(1))+1)^2 und q den Miller-Rabin-Test passiert.
==> m=1158,
==> q=193
==> pause>Das Minimalpolynom T von j((D+sqr(D))/2) aus Z[X] fuer D=-8 wird be\
rechnet.
==> T=x-8000
==> pause>Setze T=T mod N(1).
==> T=x+728
==> pause>Die Nullstelle von T modulo N(1) ist
==> [1]:
==> 363
==> pause>Waehle die Nullstelle j=363 aus und setze
==> c=j/(j-1728) mod N(1), a=-3c mod N(1), b=2c mod N(1).
==> a=653,
==> b=292
==> pause>g=473
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=1091,
==> a=653,
==> b=292
==> wird gewaehlt.
==> P=(478,345,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(492,355,1),
==> P2=(306,723,1)
==> pause>Da P1!=(0:1:0), ist fuer die Koeffizienten a=653 und b=292 m!=|E(Z/\
N(1)Z)|.
==> Waehle daher neue Koeffizienten a und b.
==> pause>Da D<-4, setze a=a*g^2 mod N(1) und b=b*g^3 mod N(1).
==> a=318,
==> b=96,
==> k=1
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=1091,
==> a=318,
==> b=96
==> wird gewaehlt.
==> P=(186,634,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(0,1,0),
==> P2=(902,794,1)
==> pause>2. Rekursion:
==>
==> N(1)=1091 erfuellt die Bedingungen des zugrunde liegenden Satzes,
==> da P1=(0:1:0) und P2[3] aus (Z/N(1)Z)*.
==>
==> Untersuche nun, ob auch der gefundene Faktor q=193 diese Bedingungen erfu\
ellt.
==> Setze dazu i=i+1, N(2)=q=193 und beginne den Algorithmus von vorne.
==> pause>1
Atkin(100019,100,5);
==> Setze i=0, n=0 und N(i)=N(0)=100019.
==> pause>Liste H der moeglichen geeigneten Diskriminanten wird berechnet.
==> H=-3,-4,-7,-8,-11,-12,-15,-16,-19,-20,-23,-24,-27,-28,-31,-32,-35,-36,-39\
,-40,-43,-44,-47,-48,-51,-52,-55,-56,-59,-60,-63,-64,-67,-68,-71,-72,-75,\
-76,-79,-80,-83,-84,-87,-88,-91,-92,-95,-96,-99,-100,-103,-104,-107,-108,\
-111,-112,-115,-116,-119,-120,-123,-124,-127,-128,-131,-132,-135,-136,-13\
9,-140,-143,-144,-147,-148,-151,-152,-155,-156,-159,-160,-163,-164,-167,-\
168,-171,-172,-175,-176,-179,-180,-183,-184,-187,-188,-191,-192,-195,-196\
,-199,-200
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-3.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-4.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-7.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-8.
==> pause>Die Loesung (x,y) der Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) lautet
==> [1]:
==> 174
==> [2]:
==> 215
==> pause>Die Liste L2 der moeglichen m=|E(Z/N(0)Z)| wird berechnet.
==> L2=
==> [1]:
==> 100194
==> [2]:
==> 99846
==> pause>Die Liste S der Faktoren aller moeglichen m wird berechnet.
==> S=
==> [1]:
==> [1]:
==> 100194
==> [2]:
==> [1]:
==> 3
==> [2]:
==> 16699
==> [3]:
==> 2
==> [4]:
==> 3
==> [2]:
==> [1]:
==> 99846
==> [2]:
==> [1]:
==> 43
==> [2]:
==> 3
==> [3]:
==> 3
==> [4]:
==> 2
==> [5]:
==> 99846
==> pause>Geeignetes Paar (m,q) gefunden, so dass q|m,
==> q>(4-th root(N(0))+1)^2 und q den Miller-Rabin-Test passiert.
==> m=100194,
==> q=16699
==> pause>Das Minimalpolynom T von j((D+sqr(D))/2) aus Z[X] fuer D=-8 wird be\
rechnet.
==> T=x-8000
==> pause>Setze T=T mod N(0).
==> T=x+92019
==> pause>Die Nullstelle von T modulo N(0) ist
==> [1]:
==> 8000
==> pause>Waehle die Nullstelle j=8000 aus und setze
==> c=j/(j-1728) mod N(0), a=-3c mod N(0), b=2c mod N(0).
==> a=13264,
==> b=24497
==> pause>g=76919
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(0)=100019,
==> a=13264,
==> b=24497
==> wird gewaehlt.
==> P=(62306,37107,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(0,1,0),
==> P2=(1924,43039,1)
==> pause>1. Rekursion:
==>
==> N(0)=100019 erfuellt die Bedingungen des zugrunde liegenden Satzes,
==> da P1=(0:1:0) und P2[3] aus (Z/N(0)Z)*.
==>
==> Untersuche nun, ob auch der gefundene Faktor q=16699 diese Bedingungen er\
fuellt.
==> Setze dazu i=i+1, N(1)=q=16699 und beginne den Algorithmus von vorne.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-3.
==> pause>Die Loesung (x,y) der Gleichung x^2+|D|y^2=4N(1) lautet
==> [1]:
==> 248
==> [2]:
==> 42
==> pause>Die Liste L2 der moeglichen m=|E(Z/N(1)Z)| wird berechnet.
==> L2=
==> [1]:
==> 16948
==> [2]:
==> 16452
==> [3]:
==> 16887
==> [4]:
==> 16513
==> [5]:
==> 16761
==> [6]:
==> 16639
==> pause>Die Liste S der Faktoren aller moeglichen m wird berechnet.
==> S=
==> [1]:
==> [1]:
==> 16948
==> [2]:
==> [1]:
==> 19
==> [2]:
==> 223
==> [3]:
==> 2
==> [4]:
==> 16948
==> [2]:
==> [1]:
==> 16452
==> [2]:
==> [1]:
==> 457
==> [2]:
==> 3
==> [3]:
==> 2
==> [4]:
==> 4
==> [3]:
==> [1]:
==> 16887
==> [2]:
==> [1]:
==> 13
==> [2]:
==> 433
==> [3]:
==> 3
==> [4]:
==> 433
==> [4]:
==> [1]:
==> 16513
==> [2]:
==> [1]:
==> 7
==> [2]:
==> 337
==> [3]:
==> 16513
==> [5]:
==> [1]:
==> 16761
==> [2]:
==> [1]:
==> 37
==> [2]:
==> 151
==> [3]:
==> 3
==> [4]:
==> 151
==> [6]:
==> [1]:
==> 16639
==> [2]:
==> [1]:
==> 7
==> [2]:
==> 2377
==> [3]:
==> 7
==> pause>Geeignetes Paar (m,q) gefunden, so dass q|m,
==> q>(4-th root(N(1))+1)^2 und q den Miller-Rabin-Test passiert.
==> m=16948,
==> q=223
==> pause>Da D=-3, setze a=0 und b=-1.
==> pause>g=12216
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=16699,
==> a=0,
==> b=-1
==> wird gewaehlt.
==> P=(16368,16264,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(0,1,0),
==> P2=(13836,373,1)
==> pause>2. Rekursion:
==>
==> N(1)=16699 erfuellt die Bedingungen des zugrunde liegenden Satzes,
==> da P1=(0:1:0) und P2[3] aus (Z/N(1)Z)*.
==>
==> Untersuche nun, ob auch der gefundene Faktor q=223 diese Bedingungen erfu\
ellt.
==> Setze dazu i=i+1, N(2)=q=223 und beginne den Algorithmus von vorne.
==> pause>1
Atkin(10000079,100,2);
==> Setze i=0, n=0 und N(i)=N(0)=10000079.
==> pause>Liste H der moeglichen geeigneten Diskriminanten wird berechnet.
==> H=-3,-4,-7,-8,-11,-12,-15,-16,-19,-20,-23,-24,-27,-28,-31,-32,-35,-36,-39\
,-40,-43,-44,-47,-48,-51,-52,-55,-56,-59,-60,-63,-64,-67,-68,-71,-72,-75,\
-76,-79,-80,-83,-84,-87,-88,-91,-92,-95,-96,-99,-100,-103,-104,-107,-108,\
-111,-112,-115,-116,-119,-120,-123,-124,-127,-128,-131,-132,-135,-136,-13\
9,-140,-143,-144,-147,-148,-151,-152,-155,-156,-159,-160,-163,-164,-167,-\
168,-171,-172,-175,-176,-179,-180,-183,-184,-187,-188,-191,-192,-195,-196\
,-199,-200
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-3.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-4.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-7.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-8.
==> pause>Jacobi(D,N(0))=-1
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-11.
==> pause>Die Loesung (x,y) der Gleichung x^2+|D|y^2=4N(0) lautet
==> [1]:
==> 4596
==> [2]:
==> 1310
==> pause>Die Liste L2 der moeglichen m=|E(Z/N(0)Z)| wird berechnet.
==> L2=
==> [1]:
==> 10004676
==> [2]:
==> 9995484
==> pause>Die Liste S der Faktoren aller moeglichen m wird berechnet.
==> S=
==> [1]:
==> [1]:
==> 10004676
==> [2]:
==> [1]:
==> 11
==> [2]:
==> 3
==> [3]:
==> 2
==> [4]:
==> 75793
==> [5]:
==> 33
==> [2]:
==> [1]:
==> 9995484
==> [2]:
==> [1]:
==> 2
==> [2]:
==> 3
==> [3]:
==> 832957
==> [4]:
==> 3
==> pause>Geeignetes Paar (m,q) gefunden, so dass q|m,
==> q>(4-th root(N(0))+1)^2 und q den Miller-Rabin-Test passiert.
==> m=10004676,
==> q=75793
==> pause>Das Minimalpolynom T von j((D+sqr(D))/2) aus Z[X] fuer D=-11 wird b\
erechnet.
==> T=x+32768
==> pause>Setze T=T mod N(0).
==> T=x+32768
==> pause>Die Nullstelle von T modulo N(0) ist
==> [1]:
==> -32768
==> pause>Waehle die Nullstelle j=-32768 aus und setze
==> c=j/(j-1728) mod N(0), a=-3c mod N(0), b=2c mod N(0).
==> a=2374784,
==> b=5083530
==> pause>g=8056918
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(0)=10000079,
==> a=2374784,
==> b=5083530
==> wird gewaehlt.
==> P=(2709559,1993203,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(4859505,6859935,1),
==> P2=(7934430,8254558,1)
==> pause>Da P1!=(0:1:0), ist fuer die Koeffizienten a=2374784 und b=5083530 \
m!=|E(Z/N(0)Z)|.
==> Waehle daher neue Koeffizienten a und b.
==> pause>Da D<-4, setze a=a*g^2 mod N(0) und b=b*g^3 mod N(0).
==> a=7479727,
==> b=2651271,
==> k=1
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(0)=10000079,
==> a=7479727,
==> b=2651271
==> wird gewaehlt.
==> P=(5469092,6756510,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(0,1,0),
==> P2=(4888117,6935809,1)
==> pause>1. Rekursion:
==>
==> N(0)=10000079 erfuellt die Bedingungen des zugrunde liegenden Satzes,
==> da P1=(0:1:0) und P2[3] aus (Z/N(0)Z)*.
==>
==> Untersuche nun, ob auch der gefundene Faktor q=75793 diese Bedingungen er\
fuellt.
==> Setze dazu i=i+1, N(1)=q=75793 und beginne den Algorithmus von vorne.
==> pause>Naechste Diskriminante D wird gewaehlt. D=-3.
==> pause>Die Loesung (x,y) der Gleichung x^2+|D|y^2=4N(1) lautet
==> [1]:
==> 542
==> [2]:
==> 56
==> pause>Die Liste L2 der moeglichen m=|E(Z/N(1)Z)| wird berechnet.
==> L2=
==> [1]:
==> 76336
==> [2]:
==> 75252
==> [3]:
==> 76149
==> [4]:
==> 75439
==> [5]:
==> 75981
==> [6]:
==> 75607
==> pause>Die Liste S der Faktoren aller moeglichen m wird berechnet.
==> S=
==> [1]:
==> [1]:
==> 76336
==> [2]:
==> [1]:
==> 13
==> [2]:
==> 367
==> [3]:
==> 2
==> [4]:
==> 4
==> [2]:
==> [1]:
==> 75252
==> [2]:
==> [1]:
==> 2
==> [2]:
==> 3
==> [3]:
==> 6271
==> [4]:
==> 37626
==> [3]:
==> [1]:
==> 76149
==> [2]:
==> [1]:
==> 3
==> [2]:
==> 8461
==> [3]:
==> 9
==> [4]:
==> [1]:
==> 75439
==> [2]:
==> [1]:
==> 7
==> [2]:
==> 13
==> [3]:
==> 829
==> [4]:
==> 75439
==> [5]:
==> [1]:
==> 75981
==> [2]:
==> [1]:
==> 19
==> [2]:
==> 31
==> [3]:
==> 43
==> [4]:
==> 3
==> [5]:
==> 1333
==> [6]:
==> [1]:
==> 75607
==> [2]:
==> [1]:
==> 7
==> [2]:
==> 1543
==> [3]:
==> 75607
==> pause>Geeignetes Paar (m,q) gefunden, so dass q|m,
==> q>(4-th root(N(1))+1)^2 und q den Miller-Rabin-Test passiert.
==> m=76336,
==> q=367
==> pause>Da D=-3, setze a=0 und b=-1.
==> pause>g=32398
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=75793,
==> a=0,
==> b=-1
==> wird gewaehlt.
==> P=(36978,10297,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(51899,63627,1),
==> P2=(38965,4353,1)
==> pause>Da P1!=(0:1:0), ist fuer die Koeffizienten a=0 und b=-1 m!=|E(Z/N(1\
)Z)|.
==> Waehle daher neue Koeffizienten a und b.
==> pause>Da D=-3, setze b=b*g mod N(1).
==> a=0,
==> b=43395,
==> k=1
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=75793,
==> a=0,
==> b=43395
==> wird gewaehlt.
==> P=(39176,26084,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(34018,11213,1),
==> P2=(75590,42424,1)
==> pause>Da P1!=(0:1:0), ist fuer die Koeffizienten a=0 und b=43395 m!=|E(Z/\
N(1)Z)|.
==> Waehle daher neue Koeffizienten a und b.
==> pause>Da D=-3, setze b=b*g mod N(1).
==> a=0,
==> b=26853,
==> k=2
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=75793,
==> a=0,
==> b=26853
==> wird gewaehlt.
==> P=(65012,694,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(74200,75140,1),
==> P2=(69898,60891,1)
==> pause>Da P1!=(0:1:0), ist fuer die Koeffizienten a=0 und b=26853 m!=|E(Z/\
N(1)Z)|.
==> Waehle daher neue Koeffizienten a und b.
==> pause>Da D=-3, setze b=b*g mod N(1).
==> a=0,
==> b=31440,
==> k=3
==> pause>Ein zufaelliger Punkt P auf der Elliptischen Kurve
==> mit der Gleichung y^2=x^3+ax+b fuer
==> N(1)=75793,
==> a=0,
==> b=31440
==> wird gewaehlt.
==> P=(65894,48380,1)
==> pause>Die Punkte P2=(m/q)*P und P1=q*P2 auf der Kurve werden berechnet.
==> P1=(0,1,0),
==> P2=(56490,71445,1)
==> pause>2. Rekursion:
==>
==> N(1)=75793 erfuellt die Bedingungen des zugrunde liegenden Satzes,
==> da P1=(0:1:0) und P2[3] aus (Z/N(1)Z)*.
==>
==> Untersuche nun, ob auch der gefundene Faktor q=367 diese Bedingungen erfu\
ellt.
==> Setze dazu i=i+1, N(2)=q=367 und beginne den Algorithmus von vorne.
==> pause>1
==> >
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